Exercício 4.1 Em cada um dos problemas resolva o problema de valores de contorno dado:
B. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: . Além disso, temos duas condições de contorno: a derivada de em é 1, ou seja, , e a derivada de em é 0, ou seja, . Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais homogêneas e suas soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação diferencial homogênea . Para isso, a gente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), ficamos com:
Resolvendo para :

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que a gente vai determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de :
Vamos usar as condições de contorno para achar e .

Passo 6

Primeiro, aplicamos a condição :
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição :
Sabemos que , então substituindo:
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Exercício 4.1 Em cada um dos problemas resolva o problema de valores de contorno dado:
A. ;
EXERCÍNIO: CALWLE AS INTEGRAIS
DEFINIDAS
(a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do retângulo
Utilize a soma de Riemann com e tome como ponto de amostragem o canto superior direito de cada sub-retângulo.
Considere o seguinte problema de valores de contorno: