(a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do retângulo
Utilize a soma de Riemann com e tome como ponto de amostragem o canto superior direito de cada sub-retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar o volume de um sólido que está abaixo da superfície e acima de um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar a soma de Riemann com divisões em e divisões em . A gente vai pegar o canto superior direito de cada sub-retângulo como ponto de amostragem. Vamos precisar entender como dividir o retângulo e calcular a área aproximada usando essas somas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de de 0 a 6 em partes iguais. Isso nos dá . Ou seja, os pontos de divisão em serão 0, 2, 4 e 6.

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de de 0 a 4 em partes iguais. Assim, temos . Os pontos de divisão em serão 0, 2 e 4.

Passo 4

Com as divisões feitas, vamos identificar os sub-retângulos. Cada sub-retângulo tem largura e altura . Então, temos um total de sub-retângulos.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o canto superior direito de cada sub-retângulo, que será o ponto onde vamos avaliar a função . Vamos listar as coordenadas desses pontos:
  1. (2, 2)
  2. (4, 2)
  3. (6, 2)
  4. (2, 4)
  5. (4, 4)
  6. (6, 4)

Passo 6

Vamos calcular o valor de em cada ponto:

Passo 7

Agora, multiplicamos cada valor de pela área do sub-retângulo :

Passo 8

Por último, somamos todos esses valores para obter a estimativa do volume:

Resposta

O volume estimado do sólido é 288 unidades cúbicas.

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Mostre que para todo , ou seja, e são LI. Este resultado mostra que se é solução da EDO e tivermos então é solução geral da EDO.