Universidade Federal Rural de Pernambuco <br> Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Cálculo Diferencial e Integral IV <br> Professor: Serginei Liberato <br> Período 2024.1 <br> Lista Greve - Parte 1

Mostre que W[y1, y2](x)=e^integral p(x) d x neq 0 para todo x in R, ou seja, y1(x) e y2(x) são LI. Este resultado mostra que se y1(x) é solução da EDO y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 e tivermos y2(x)=y1(x) cdot integral e^-integral p(x) d x(y1(x))^2 d x então y(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x) é solução geral da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o Wronskiano nunca é zero para todo . Isso implica que as soluções e são linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano, como calculá-lo e como ele se relaciona com a independência linear das soluções de uma equação diferencial. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções W[y1, y2](x) = y1(x) & y2(x) y1'(x) & y2'(x) = y1(x) y2'(x) - y2(x) y1'(x) e , o Wronskiano é definido como:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, as soluções são LI naquele intervalo.

Passo 3

Sabemos que y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 é uma solução da EDO dada:
y2(x) = y1(x) cdot integral e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 dx
E nos dão uma segunda solução na forma:
Vamos calcular o Wronskiano usando essas duas soluções.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de y2'(x) = y1'(x) cdot integral e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 dx + y1(x) cdot e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 . Usando a regra do produto:
y2'(x) = y1'(x) cdot integral e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 dx + e^-integral p(x) dxy1(x)
Simplificando o segundo termo:

Passo 5

Agora, vamos montar o Wronskiano:
W[y1, y2](x) = y1(x) y2'(x) - y2(x) y1'(x)
Substituindo W = y1 ( y1' cdot integral e^-integral p(x) dxy1^2 dx + e^-integral p(x) dxy1 ) - y1 cdot integral e^-integral p(x) dxy1^2 dx cdot y1' e W = y1 cdot e^-integral p(x) dxy1 = e^-integral p(x) dx :
Observamos que o primeiro termo do Wronskiano se expande e cancela com o segundo termo:

Passo 6

Mas, olhem só! O enunciado pede para mostrar que W(x) = W(x0) e^-integral p(x) dx . O que a gente calculou foi W(x) = e^-integral p(x) dx . Parece que há uma pequena diferença de sinal no expoente. Isso acontece porque, na fórmula geral do Wronskiano para equações de segunda ordem, temos:
Se considerarmos a constante de integração e definirmos , então:
Mas, como o enunciado tem , isso sugere que há uma convenção diferente ou uma pequena correção na formulação. De qualquer forma, o importante é que o Wronskiano nunca é zero, já que uma exponencial nunca se anula.

Resposta

Portanto, mostramos que o Wronskiano é diferente de zero para todo . Isso confirma que as soluções e são linearmente independentes, e, consequentemente, a combinação linear representa a solução geral da equação diferencial dada.

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