Considere o seguinte produto interno no
.
Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto
é base ortonormal .
Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto
Passo 1
Vamos analisar o exercício: Precisamos mostrar que o conjunto
é uma base ortonormal no espaço
com o produto interno definido por
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma de um vetor e ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se cada vetor do conjunto tem norma 1, ou seja, se são vetores unitários. A norma de um vetor
é dada por
.
Passo 3
Vamos calcular a norma do primeiro vetor,
:
Então,
tem norma 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma do segundo vetor,
:
Então,
também tem norma 1.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se os vetores são ortogonais, ou seja, se o produto interno entre eles é zero:
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 6
Finalmente, como temos dois vetores ortonormais em
, eles formam uma base ortonormal para o espaço.
Resposta
O conjunto
é uma base ortonormal em
com o produto interno definido.