Considere o seguinte produto interno no R^2:(x1, y1) cdot(x2, y2)=x1 x2+2 x1 y2+2 x2 y1+5 y1 y2.
Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto (1,0),(2,-1) é base ortonormal .

Passo 1

Vamos analisar o exercício: Precisamos mostrar que o conjunto (1,0),(2,-1) é uma base ortonormal no espaço R^2 com o produto interno definido por (x1, y1) cdot(x2, y2) = x1x2 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5y1y2. Para isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma de um vetor e ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada vetor do conjunto tem norma 1, ou seja, se são vetores unitários. A norma de um vetor v = (x, y) é dada por |v| = raizv cdot v.

Passo 3

Vamos calcular a norma do primeiro vetor, v1 = (1, 0):
|v1| = raiz(1)(1) + 2(1)(0) + 2(1)(0) + 5(0)(0) = raiz1 + 0 + 0 + 0 = raiz1 = 1
Então, v1 tem norma 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma do segundo vetor, v2 = (2, -1):
|v2| = raiz(2)(2) + 2(2)(-1) + 2(2)(-1) + 5(-1)(-1) = raiz4 - 4 - 4 + 5 = raiz1 = 1
Então, v2 também tem norma 1.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se os vetores são ortogonais, ou seja, se o produto interno entre eles é zero:
v1 cdot v2 = (1)(2) + 2(1)(-1) + 2(2)(0) + 5(0)(-1) = 2 - 2 + 0 + 0 = 0
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 6

Finalmente, como temos dois vetores ortonormais em R^2, eles formam uma base ortonormal para o espaço.

Resposta

O conjunto (1,0),(2,-1) é uma base ortonormal em R^2 com o produto interno definido.

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