Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subespaços vetoriais do R^3 :
a) (x, y, z) in R^3 mid y-2 z=0
b) (x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0
Respostas: a)(1,0,0)(0,-2raiz5, 1raiz5) b)(1raiz2,-1raiz2, 0),(-1raiz6,-1raiz6,-2raiz6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma base ortonormal para dois subespaços vetoriais específicos de usando o produto interno usual. Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços vetoriais, base ortonormal e produto interno. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar uma base ortonormal para o subespaço
(x, y, z) in R^3 mid y - 2z = 0
Esse subespaço é definido pela equação | (0, 2, 1) | = raiz0^2 + 2^2 + 1^2 = raiz5 , o que significa que (1)(0) + (0)(2raiz5) + (0)(1raiz5) = 0 é sempre o dobro de . Para encontrar uma base, precisamos identificar vetores que satisfaçam essa condição e que sejam ortonormais entre si.
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que pertençam a esse subespaço:
  1. Escolha de vetores:
    • Podemos escolher . Então, . Um vetor seria .
    • Agora, escolhemos . Vamos escolher , então . Outro vetor seria .
  2. Normalização dos vetores:
    • Para que a base seja ortonormal, os vetores devem ter comprimento 1. Calculamos o comprimento de cada vetor: Então, o vetor normalizado é .
  3. Verificação da ortogonalidade:
    • Calculamos o produto interno dos vetores e : Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.
Portanto, temos uma base ortonormal para a parte a).

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): encontrar uma base ortonormal para o subespaço
(x, y, z) in R^3 mid x + y + z = 0
Esse subespaço é definido pela equação | (-1, 1, 0) | = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 , indicando que a soma das coordenadas é sempre zero. Novamente, precisamos encontrar vetores que atendam a essa condição e que sejam ortonormais.
  1. Escolha de vetores:
    • Vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, Proj = [ (-2)(-1) + 1(1) + 1(0)2 ] (-1raiz2, 1raiz2, 0) = (32) (-1raiz2, 1raiz2, 0) .
    • Escolhendo valores para (-2, 1, 1) - (-32raiz2, 32raiz2, 0) = (-4raiz2 + 32raiz2, 2raiz2 - 32raiz2, 1) e (1raiz2, -1raiz2, 0), (-1raiz6, -1raiz6, -2raiz6) , podemos obter vetores como:
      • Para e , , obtendo o vetor .
      • Para e , , obtendo o vetor .
  2. Aplicação do Processo de Gram-Schmidt:
    • Para garantir ortogonalidade, usamos o método de Gram-Schmidt.
    • Primeiro, normalizamos o vetor :
      Então, o vetor normalizado é .
    • Em seguida, ajustamos o segundo vetor para que seja ortogonal ao primeiro.
      • Calculamos a projeção de sobre :
      • Subtraímos essa projeção do segundo vetor original:
      • Normalizamos o vetor resultante para obter o segundo vetor ortonormal.
  3. Resultado Final:
    • Após o processo, obtemos a segunda base ortonormal:

Resposta

a)
b)

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