Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subespaços vetoriais do
:
a)
b)
Respostas:
a)
b)
Respostas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma base ortonormal para dois subespaços vetoriais específicos de
usando o produto interno usual. Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços vetoriais, base ortonormal e produto interno. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a parte a): encontrar uma base ortonormal para o subespaço
Esse subespaço é definido pela equação
, o que significa que
é sempre o dobro de
. Para encontrar uma base, precisamos identificar vetores que satisfaçam essa condição e que sejam ortonormais entre si.
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que pertençam a esse subespaço:
-
Escolha de vetores:
- Podemos escolher
. Então, . Um vetor seria . - Agora, escolhemos
. Vamos escolher , então . Outro vetor seria .
- Podemos escolher
-
Normalização dos vetores:
- Para que a base seja ortonormal, os vetores devem ter comprimento 1. Calculamos o comprimento de cada vetor:
Então, o vetor normalizado é .
- Para que a base seja ortonormal, os vetores devem ter comprimento 1. Calculamos o comprimento de cada vetor:
-
Verificação da ortogonalidade:
- Calculamos o produto interno dos vetores
e : Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.
- Calculamos o produto interno dos vetores
Portanto, temos uma base ortonormal para a parte a).
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): encontrar uma base ortonormal para o subespaço
Esse subespaço é definido pela equação
, indicando que a soma das coordenadas é sempre zero. Novamente, precisamos encontrar vetores que atendam a essa condição e que sejam ortonormais.
-
Escolha de vetores:
- Vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo,
. - Escolhendo valores para
e , podemos obter vetores como: - Para
e , , obtendo o vetor . - Para
e , , obtendo o vetor .
- Para
- Vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo,
-
Aplicação do Processo de Gram-Schmidt:
-
Para garantir ortogonalidade, usamos o método de Gram-Schmidt.
-
Primeiro, normalizamos o vetor
: Então, o vetor normalizado é. -
Em seguida, ajustamos o segundo vetor
para que seja ortogonal ao primeiro. - Calculamos a projeção de
sobre : - Subtraímos essa projeção do segundo vetor original:
- Normalizamos o vetor resultante para obter o segundo vetor ortonormal.
- Calculamos a projeção de
-
-
Resultado Final:
- Após o processo, obtemos a segunda base ortonormal:
- Após o processo, obtemos a segunda base ortonormal:
Resposta
a)
b)