Determine o maior ângulo do triângulo A B C, onde A=(0,1,2,0), B=(0,1,0,-1) e C=(1,0,0,1) são pontos de R^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o maior ângulo do triângulo formado pelos pontos , e no espaço de quatro dimensões . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto escalar, que ajudam a calcular ângulos entre vetores em qualquer espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos considerar os vetores AB = B - A = (0-0, 1-1, 0-2, -1-0) = (0, 0, -2, -1) , AC = C - A = (1-0, 0-1, 0-2, 1-0) = (1, -1, -2, 1) e BC = C - B = (1-0, 0-1, 0-0, 1-(-1)) = (1, -1, 0, 2) .
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, para encontrar os ângulos internos do triângulo, vamos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores. A fórmula é:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Onde e são os vetores dos lados do triângulo, é o produto escalar, e e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares e as normas dos vetores:
Para o ângulo em AB cdot AC = (0)(1) + (0)(-1) + (-2)(-2) + (-1)(1) = 0 + 0 + 4 - 1 = 3 (entre ||AB|| = raiz0^2 + 0^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz0 + 0 + 4 + 1 = raiz5 e ||AC|| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 4 + 1 = raiz7 ):
cos(thetaA) = 3raiz5 times raiz7 = 3raiz35 approx 0,507
thetaA = arccos(0,507) approx 59,5^circ
BA = -AB = (0, 0, 2, 1)
BA cdot BC = (0)(1) + (0)(-1) + (2)(0) + (1)(2) = 0 + 0 + 0 + 2 = 2
||BA|| = ||AB|| = raiz5
Para o ângulo em ||BC|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 0 + 4 = raiz6 (entre cos(thetaB) = 2raiz5 times raiz6 = 2raiz30 approx 0,365 e thetaB = arccos(0,365) approx 68,3^circ ):
CA = -AC = (-1, 1, 2, -1)
CB = -BC = (-1, 1, 0, -2)
CA cdot CB = (-1)(-1) + (1)(1) + (2)(0) + (-1)(-2) = 1 + 1 + 0 + 2 = 4
||CA|| = ||AC|| = raiz7
||CB|| = ||BC|| = raiz6
cos(thetaC) = 4raiz7 times raiz6 = 4raiz42 approx 0,618
Para o ângulo em thetaC = arccos(0,618) approx 51,5^circ (entre e ):

Resposta

O maior ângulo do triângulo é aproximadamente no vértice .

Exercícios relacionados