Um dos vetores da lista v1, v2, ldots, vk in R^n é nulo. O que se pode afirmar sobre essa lista (LD ou LI)? Explique!

Passo 1

Primeiro, vamos entender a pergunta: temos uma lista de vetores v1, v2, ldots, vk em R^n, e um desses vetores é o vetor nulo (ou seja, todos os seus componentes são zero). A questão pede para determinar se essa lista é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma lista de vetores ser LD ou LI e como o vetor nulo influencia isso.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que uma lista de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos:
c1v1 + c2v2 + ldots + ckvk = 0
A única solução para essa equação é c1 = c2 = ldots = ck = 0.

Passo 3

Agora, considere que um dos vetores na lista é o vetor nulo, digamos vj = 0. Vamos ver o que acontece na combinação linear:
c1v1 + c2v2 + ldots + cj0 + ldots + ckvk = 0
Isso simplifica para:
c1v1 + c2v2 + ldots + ckvk = 0

Passo 4

Observe que no lugar de cj0, temos 0, então a equação acima sempre será verdadeira para qualquer valor de cj. Ou seja, podemos escolher cj diferente de zero e ainda assim a combinação linear resultar no vetor zero. Isso significa que existe uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente é diferente de zero) que resulta no vetor zero.

Passo 5

De acordo com a definição, se existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes. Portanto, a presença de um vetor nulo na lista garante que a lista é linearmente dependente.

Resposta

A lista é linearmente dependente (LD), já que a presença do vetor nulo permite uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

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