Um dos vetores da lista
é nulo. O que se pode afirmar sobre essa lista (LD ou LI)? Explique!
Passo 1
Primeiro, vamos entender a pergunta: temos uma lista de vetores
em
, e um desses vetores é o vetor nulo (ou seja, todos os seus componentes são zero). A questão pede para determinar se essa lista é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma lista de vetores ser LD ou LI e como o vetor nulo influencia isso.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que uma lista de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos:
A única solução para essa equação é
.
Passo 3
Agora, considere que um dos vetores na lista é o vetor nulo, digamos
. Vamos ver o que acontece na combinação linear:
Isso simplifica para:
Passo 4
Observe que no lugar de
, temos
, então a equação acima sempre será verdadeira para qualquer valor de
. Ou seja, podemos escolher
diferente de zero e ainda assim a combinação linear resultar no vetor zero. Isso significa que existe uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente é diferente de zero) que resulta no vetor zero.
Passo 5
De acordo com a definição, se existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes. Portanto, a presença de um vetor nulo na lista garante que a lista é linearmente dependente.
Resposta
A lista é linearmente dependente (LD), já que a presença do vetor nulo permite uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.