Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
.
Utilizando esta propriedade mostre:
b)
cosat
, sabendo-se que
senat
.
Utilizando esta propriedade mostre:
b)
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma propriedade da transformada de Laplace para a derivada de uma função:
A tarefa é usar essa propriedade para encontrar a transformada de Laplace de
, sabendo que:
Vamos precisar entender como a derivada de se relaciona com
e aplicar a propriedade da transformada de Laplace para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação ao tempo
é:
Isso significa que podemos expressar
em termos da derivada de :
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na derivada de :
Por outro lado, usando a propriedade da transformada de Laplace para derivadas que foi dada:
Como , isso simplifica para:
Passo 4
Agora, igualando as duas expressões que encontramos para :
Queremos isolar
, então vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Sabemos que:
Substituindo isso na equação anterior:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: