Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace L{f'(t)} = s L{f(t)} - f(0).
Utilizando esta propriedade mostre:
b) \mathcal{L}\{ cosat }, sabendo-se que \mathcal{L}\{ senat } = a / (s^2 + a^2), s > 0.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma propriedade da transformada de Laplace para a derivada de uma função:
A tarefa é usar essa propriedade para encontrar a transformada de Laplace de , sabendo que:
Vamos precisar entender como a derivada de se relaciona com e aplicar a propriedade da transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação ao tempo é:
Isso significa que podemos expressar em termos da derivada de :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na derivada de :
Por outro lado, usando a propriedade da transformada de Laplace para derivadas que foi dada:
Como , isso simplifica para:

Passo 4

Agora, igualando as duas expressões que encontramos para :
Queremos isolar , então vamos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Sabemos que:
Substituindo isso na equação anterior:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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