Find by implicit differentiation.

Passo 1

Vamos resolver a derivada implícita de para a equação . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com diferenciação implícita. Para isso, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Começamos com . Aqui, aplicamos a regra do produto, já que temos o produto de e .

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao termo , obtemos:
Aqui, derivamos em relação a , que é , e mantemos como está. Depois, mantemos e derivamos em relação a , usando a regra da cadeia, que nos dá .

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo . Novamente, usamos a regra do produto:
Aqui, derivamos em relação a , que é , e mantemos . Depois, mantemos e derivamos , que é .

Passo 5

Derivamos o lado direito da equação, que é uma constante:

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas:

Passo 7

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 8

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 9

Isolamos dividindo ambos os lados pela expressão :

Resposta

A derivada implícita é:

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Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace .
Utilizando esta propriedade mostre:
b) cosat , sabendo-se que senat .
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