Find d y / d x by implicit differentiation.
sen(xy) = cos(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e precisamos encontrar usando a diferenciação implícita. Diferenciação implícita é uma técnica que usamos quando não é fácil isolar y em termos de x. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Vamos começar com o lado esquerdo: . Para diferenciar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de , onde , é .
Então, derivando o lado esquerdo:

Passo 3

Agora, vamos derivar xy em relação a x. Como y é uma função de x, usamos a regra do produto:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação: . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de , onde , é .
Então, derivando o lado direito:

Passo 5

Derivando em relação a x:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver para . Vamos distribuir os termos:

Passo 7

Agora, vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os termos sem do outro:
Fatorando :

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pelo coeficiente:

Resposta

A derivada de y em relação a x é:

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