Find by implicit differentiation.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e precisamos encontrar usando a diferenciação implícita. Diferenciação implícita é uma técnica que usamos quando não é fácil isolar em termos de . Vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Vamos começar com o lado esquerdo: . Para diferenciar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de , onde , é .
Então, derivando o lado esquerdo:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Como é uma função de , usamos a regra do produto:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação: . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de , onde , é .
Então, derivando o lado direito:

Passo 5

Derivando em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver para . Vamos distribuir os termos:

Passo 7

Agora, vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os termos sem do outro:
Fatorando :

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pelo coeficiente:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Utilizando a propriedade da transformada
Determine:
a)
Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace e inteiro positivo.
Então determine, a partir desta propriedade, , se:
a) .
Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace .
Utilizando esta propriedade mostre:
b) cosat , sabendo-se que senat .