Find
by implicit differentiation.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
e precisamos encontrar
usando a diferenciação implícita. Diferenciação implícita é uma técnica que usamos quando não é fácil isolar
em termos de
. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Vamos começar com o lado esquerdo:
. Para diferenciar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
, onde
, é
.
Então, derivando o lado esquerdo:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é uma função de
, usamos a regra do produto:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação:
. Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
, onde
, é
.
Então, derivando o lado direito:
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver para
. Vamos distribuir os termos:
Passo 7
Agora, vamos reunir todos os termos que contêm
de um lado e os termos sem
do outro:
Fatorando
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pelo coeficiente:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Utilizando a propriedade da transformada
Determine:
a)
a)
Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace
e
inteiro positivo.
Então determine, a partir desta propriedade, , se:
a) .
Então determine, a partir desta propriedade,
a)
Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
.
Utilizando esta propriedade mostre:
b) cosat
, sabendo-se que
senat
.
Utilizando esta propriedade mostre:
b)