Find d y / d x by implicit differentiation.
sen(x+y) = cos(x) + cos(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de diferenciação implícita. A gente tem a equação e queremos encontrar a derivada dy/dx. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando y está misturado com x numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando der formam com y, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo: . A derivada de é . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito: . A derivada de cos(x) é . Para , aplicamos a regra da cadeia novamente:
Então, o lado direito total fica:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 6

Vamos isolar . Primeiro, distribua :

Passo 7

Reúna todos os termos com de um lado e os demais do outro:

Passo 8

Fatore :

Passo 9

Finalmente, isole dividindo ambos os lados pelo que está multiplicando:

Resposta

A derivada dy/dx é:

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