Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar diferenciação implícita, que é uma técnica de cálculo para encontrar a derivada quando x e y estão misturados na equação. Aqui, temos a equação
e queremos achar a equação da reta tangente nessa curva no ponto
. Vamos precisar lembrar de como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que tivermos y, vamos precisar multiplicar pela derivada de y em relação a x, que a gente denota como
.
A equação é:
Derivando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante é zero.
Então, aplicando isso:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada separadamente.
Para
:
Para
:
Passo 4
Juntando as derivadas:
Vamos agora isolar
.
Passo 5
Distribuindo os termos:
Reunindo os termos com
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Vamos calcular
no ponto dado
. Primeiro, substituímos
e
na expressão.
Calculando
e
.
Agora, sabemos que:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Agora que temos a derivada
, que é a inclinação da reta tangente, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
e
.
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é:
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Find
by implicit differentiation.
Utilizando a propriedade da transformada
Determine:
a)
a)
Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
.
Utilizando esta propriedade mostre:
b) cosat
, sabendo-se que
senat
.
Utilizando esta propriedade mostre:
b)
Find
by implicit differentiation.