Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar diferenciação implícita, que é uma técnica de cálculo para encontrar a derivada quando x e y estão misturados na equação. Aqui, temos a equação e queremos achar a equação da reta tangente nessa curva no ponto . Vamos precisar lembrar de como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que tivermos y, vamos precisar multiplicar pela derivada de y em relação a x, que a gente denota como .
A equação é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante é zero.
Então, aplicando isso:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada separadamente.
Para :
Para :

Passo 4

Juntando as derivadas:
Vamos agora isolar .

Passo 5

Distribuindo os termos:
Reunindo os termos com :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Vamos calcular no ponto dado . Primeiro, substituímos e na expressão.
Calculando e .
Agora, sabemos que:
Substituindo na expressão:

Passo 8

Agora que temos a derivada , que é a inclinação da reta tangente, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde e .
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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Utilizando a propriedade da transformada
Determine:
a)
Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace .
Utilizando esta propriedade mostre:
b) cosat , sabendo-se que senat .
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