Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace L{f'(t)} = s L{f(t)} - f(0).
Utilizando esta propriedade mostre:
a) \mathcal{L}\{ senat }, sabendo-se que \mathcal{L}\{ cosat } = s / (s^2 + a^2), s > 0.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a transformada de Laplace da função seno, , usando a propriedade da transformada de Laplace da derivada, que é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de , que já foi fornecida como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é . Então, temos:

Passo 3

Aplicando a propriedade da transformada de Laplace para derivadas na função , obtemos:
Sabemos que , então a equação simplifica para:

Passo 4

Substituindo por na transformada, temos:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Já que , substituímos na equação:

Passo 6

Agora, isolamos :

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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