Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite. a_n = raiz[n]{(2n)! / (n!)^2}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se convergir, temos que achar o limite dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências, fatoriais e raízes. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o fatorial de e é o fatorial de ao quadrado. A raiz -ésima está dizendo que vamos tirar a raiz de ordem desse quociente.

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos usar uma ferramenta da matemática chamada fórmula de Stirling. Ela é uma aproximação para fatoriais grandes e diz que:
Isso vai nos ajudar a lidar com os fatoriais grandes que temos na expressão.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Stirling para e , temos:
Então, fica:

Passo 5

Agora, substituindo essas aproximações na expressão de :
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, vamos separar os termos dentro da raiz:
Observamos que .

Passo 7

Focando no primeiro termo:
À medida que cresce, tende a zero, e qualquer número positivo elevado a tende a 1.

Passo 8

Portanto, temos:
Isso significa que, à medida que fica muito grande, se aproxima de 4.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 4.

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