Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se convergir, temos que achar o limite dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências, fatoriais e raízes. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o fatorial de e é o fatorial de ao quadrado. A raiz -ésima está dizendo que vamos tirar a raiz de ordem desse quociente.
Passo 3
Para simplificar essa expressão, vamos usar uma ferramenta da matemática chamada fórmula de Stirling. Ela é uma aproximação para fatoriais grandes e diz que:
Isso vai nos ajudar a lidar com os fatoriais grandes que temos na expressão.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Stirling para e , temos:
Então, fica:
Passo 5
Agora, substituindo essas aproximações na expressão de :
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos separar os termos dentro da raiz:
Observamos que .
Passo 7
Focando no primeiro termo:
À medida que cresce, tende a zero, e qualquer número positivo elevado a tende a 1.
Passo 8
Portanto, temos:
Isso significa que, à medida que fica muito grande, se aproxima de 4.