Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
2 t+23 integral0^t cos (alpha(t-tau)) y(tau) d tau=y(t)
para alpha>1, fixo.
ll hline a y(t)=43 1alpha^2+2 t-2 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 t) & e y(t)=43 1alpha^2+2 t+49 1alpha^2 1raizalpha^2-19 e^13 t sin (raizalpha^2-19 t) ll b y(t)=43 1alpha^2+2 t-43 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 t)+ & f y(t)=43 1alpha^2+2 t+43 1alpha^2 1raizalpha^2-19 e^13 t sin (raizalpha^2-19 t) 49 1alpha^2 e^13 t sin (raizalpha^2-19 t) & g y(t)=43 1alpha^2+2 t-2 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 t)+ c y(t)=43 1alpha^2+2 t-43 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 t)+ & 49 1alpha^2 1raizalpha^2-19 e^13 t sin (raizalpha^2-19 t) 43 1alpha^2 1raizalpha^2-19 e^13 t sin (raizalpha^2-19 t) & प y(t)=43 1alpha^2+2 t-43 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 t)+ d y(t)=43 1alpha^2+2 t-43 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 t) & 49 1alpha^2 1raizalpha^2-19 e^13 t sin (raizalpha^2-19 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação integral usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá a seguinte equação:
2 t + 23 integral0^t cos (alpha(t-tau)) y(tau) d tau = y(t)
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades, especialmente para integrais convolucionais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace nos dois lados da equação. Sabemos que a Transformada de Laplace de L2t + 23 L integral0^t cos (alpha(t-tau)) y(tau) dtau = Ly(t) é .
Aplicando a Transformada de Laplace:

Passo 3

Calculamos cada termo:
  1. Transformada de L2t = 2s^2 :
L integral0^t cos (alpha(t-tau)) y(tau) dtau = Lcos(alpha t) cdot Y(s) = ss^2 + alpha^2 Y(s)
  1. Transformada da integral convolucional:
A integral 23 cdot ss^2 + alpha^2 Y(s) é uma convolução de com . Então:
Portanto:

Passo 4

Substituindo os termos na equação transformada:
2s^2 + 23 cdot ss^2 + alpha^2 Y(s) = Y(s)
Agora, vamos isolar 2s^2 = Y(s) - 23 cdot ss^2 + alpha^2 Y(s) :
2s^2 = Y(s) (1 - 23 cdot ss^2 + alpha^2)
Factorizando :

Passo 5

Resolvendo para Y(s) = 2s^2 div (1 - 2s3(s^2 + alpha^2)) = 2s^2 cdot 3(s^2 + alpha^2)3(s^2 + alpha^2) - 2s :
Y(s) = 6(s^2 + alpha^2)s^2 (3(s^2 + alpha^2) - 2s)
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar y(t) = 43 1alpha^2 + 2 t - 43 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 t) + 49 1alpha^2 1raizalpha^2-19 e^13 t sin (raizalpha^2-19 t) , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . Isso envolve decompor em frações parciais e identificar termos conhecidos.
Após realizar os cálculos, obtemos:

Resposta

A solução da equação integral é:
y(t) = 43 1alpha^2 + 2 t - 43 1alpha^2 e^13 t cos (raizalpha^2-19 , t) + 49 1alpha^2 1raizalpha^2-19 e^13 t sin (raizalpha^2-19 , t)

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