Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
para
, fixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação integral usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades, especialmente para integrais convolucionais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace nos dois lados da equação. Sabemos que a Transformada de Laplace de
é
.
Aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 3
Calculamos cada termo:
- Transformada de
:
- Transformada da integral convolucional:
A integral
é uma convolução de
com
. Então:
Portanto:
Passo 4
Substituindo os termos na equação transformada:
Agora, vamos isolar
:
Factorizando
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de
. Isso envolve decompor em frações parciais e identificar termos conhecidos.
Após realizar os cálculos, obtemos:
Resposta
A solução da equação integral é:
Exercícios relacionados
Considere o seguinte PVI
Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g
h
a
e)
b
f
c
g
h
Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
a
.
f .
b .
.
c .
.
d .
i) .
e .
j) .
f
b
c
d
i)
e
j)
A equação de Chebyshev é
onde
é uma constante (um número).
i. Mostre que e
são pontos singulares regulares e encontre os exponentes em cada uma dessas singularidades (resolva a equação indicial).
ii. Encontre a solução em torno de .
i. Mostre que
ii. Encontre a solução em torno de
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos:
(a) e
e
.
(a)