Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
para , fixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação integral usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades, especialmente para integrais convolucionais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace nos dois lados da equação. Sabemos que a Transformada de Laplace de é .
Aplicando a Transformada de Laplace:

Passo 3

Calculamos cada termo:
  1. Transformada de :
  1. Transformada da integral convolucional:
A integral é uma convolução de com . Então:
Portanto:

Passo 4

Substituindo os termos na equação transformada:
Agora, vamos isolar :
Factorizando :

Passo 5

Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . Isso envolve decompor em frações parciais e identificar termos conhecidos.
Após realizar os cálculos, obtemos:

Resposta

A solução da equação integral é:

Exercícios relacionados

Considere o seguinte PVI
Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g

h
Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
a .
f .
b .
.
c .
.
d .
i) .
e .
j) .
A equação de Chebyshev é
onde é uma constante (um número).
i. Mostre que e são pontos singulares regulares e encontre os exponentes em cada uma dessas singularidades (resolva a equação indicial).
ii. Encontre a solução em torno de .
Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
(a) e e .