A equação de Chebyshev é
onde
é uma constante (um número).
i. Mostre que
e
são pontos singulares regulares e encontre os exponentes em cada uma dessas singularidades (resolva a equação indicial).
ii. Encontre a solução em torno de
.
i. Mostre que
ii. Encontre a solução em torno de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Chebyshev. A equação dada é:
Aqui,
é uma constante. Precisamos fazer duas coisas:
- Mostrar que
e são pontos singulares regulares e encontrar os exponentes em cada um desses pontos. - Encontrar a solução da equação em torno de
.
Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares em equações diferenciais e como encontrar as soluções perto desses pontos usando a Teoria de Frobenius.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
são pontos singulares regulares.
Uma equação diferencial de segunda ordem na forma padrão é:
Um ponto
é chamado de ponto singular se
. No nosso caso,
. Então,
e
, confirmando que
e
são pontos singulares.
Para que um ponto singular seja regular, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
devem existir finitamente.
Vamos calcular para
:
Então,
e
Ambos os limites existem e são finitos, então
é um ponto singular regular. O mesmo raciocínio vale para
.
Agora, para encontrar os exponentes em cada ponto singular, usamos a equação indicial. Suponha uma solução da forma:
onde
é o ponto singular. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial e focando nos termos de menor potência de
, obtemos a equação indicial:
onde
,
, e
são coeficientes obtidos após simplificações.
Para nosso caso, após substituições e simplificações, chegamos à equação indicial:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os exponentes em
e
são
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução da equação em torno de
. Como
é um ponto singular regular, usamos a Série de Frobenius para encontrar a solução.
Assumimos que a solução tem a forma:
onde
é um dos exponentes encontrados anteriormente, e
são coeficientes a serem determinados.
Substituindo essa expressão e suas derivadas na equação diferencial, igualamos os coeficientes de potências iguais de
a zero para obter uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Após substituir e simplificar, encontramos uma relação que nos permite calcular cada
em termos de
e
. Com isso, obtemos a solução em série ao redor de
.
Dependendo do valor de
, a série pode ser finita (resultando em polinômios de Chebyshev) ou infinita.
Resposta
A equação de Chebyshev possui pontos singulares regulares em
e
com exponentes
. A solução da equação em torno de
é dada por uma série de Frobenius da forma:
onde os coeficientes
são determinados por uma relação de recorrência obtida ao substituir a série na equação diferencial.
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
para
, fixo.
Considere o seguinte PVI
Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g
h
a
e)
b
f
c
g
h
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos:
(a) e
e
.
(a)
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos:
© e
limitada por
.
©