A equação de Chebyshev é
onde é uma constante (um número).
i. Mostre que e são pontos singulares regulares e encontre os exponentes em cada uma dessas singularidades (resolva a equação indicial).
ii. Encontre a solução em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Chebyshev. A equação dada é:
Aqui, é uma constante. Precisamos fazer duas coisas:
  1. Mostrar que e são pontos singulares regulares e encontrar os exponentes em cada um desses pontos.
  2. Encontrar a solução da equação em torno de .
Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares em equações diferenciais e como encontrar as soluções perto desses pontos usando a Teoria de Frobenius.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se e são pontos singulares regulares.
Uma equação diferencial de segunda ordem na forma padrão é:
Um ponto é chamado de ponto singular se . No nosso caso, . Então, e , confirmando que e são pontos singulares.
Para que um ponto singular seja regular, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
devem existir finitamente.
Vamos calcular para :
Então,
e
Ambos os limites existem e são finitos, então é um ponto singular regular. O mesmo raciocínio vale para .
Agora, para encontrar os exponentes em cada ponto singular, usamos a equação indicial. Suponha uma solução da forma:
onde é o ponto singular. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial e focando nos termos de menor potência de , obtemos a equação indicial:
onde , , e são coeficientes obtidos após simplificações.
Para nosso caso, após substituições e simplificações, chegamos à equação indicial:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os exponentes em e são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução da equação em torno de . Como é um ponto singular regular, usamos a Série de Frobenius para encontrar a solução.
Assumimos que a solução tem a forma:
onde é um dos exponentes encontrados anteriormente, e são coeficientes a serem determinados.
Substituindo essa expressão e suas derivadas na equação diferencial, igualamos os coeficientes de potências iguais de a zero para obter uma relação de recorrência para os coeficientes .
Após substituir e simplificar, encontramos uma relação que nos permite calcular cada em termos de e . Com isso, obtemos a solução em série ao redor de .
Dependendo do valor de , a série pode ser finita (resultando em polinômios de Chebyshev) ou infinita.

Resposta

A equação de Chebyshev possui pontos singulares regulares em e com exponentes . A solução da equação em torno de é dada por uma série de Frobenius da forma:
onde os coeficientes são determinados por uma relação de recorrência obtida ao substituir a série na equação diferencial.

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Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
para , fixo.
Considere o seguinte PVI
Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g

h
Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
(a) e e .
Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
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