Considere o seguinte sistema de equações lineares: {2x-5y+2z=0; x+y+z=0; 2x+0y+kz=0}. Para que valor de k, o sistema em questão é indeterminado?
a. n. d. a.
b. k = 1
c. k = 0
d. k = -1
e. k = 2
a. n. d. a.
b. k = 1
c. k = 0
d. k = -1
e. k = 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas (x, y e z). O enunciado pede para descobrir o valor de $ k $ que faz com que esse sistema seja indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes de matrizes e como eles nos ajudam a saber se um sistema de equações tem uma solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. As equações são:
A matriz dos coeficientes fica assim:
Passo 3
Para saber se o sistema é indeterminado, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for igual a zero ($ \det(A) = 0 $), o sistema não terá uma solução única; ele pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Como estamos buscando quando o sistema é indeterminado (infinitas soluções), vamos igualar o determinante a zero e resolver para $ k $.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz:
Simplificando cada parte:
Passo 5
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar o valor de $ k $:
Resolvendo para $ k $:
Resposta
O valor de $ k $ que torna o sistema indeterminado é $ k = 2 $. Portanto, a resposta correta é a opção e. k = 2.