Considere o seguinte sistema de equações lineares: {2x-5y+2z=0; x+y+z=0; 2x+0y+kz=0}. Para que valor de k, o sistema em questão é indeterminado?
a. n. d. a.
b. k = 1
c. k = 0
d. k = -1
e. k = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas (x, y e z). O enunciado pede para descobrir o valor de $ k $ que faz com que esse sistema seja indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes de matrizes e como eles nos ajudam a saber se um sistema de equações tem uma solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. As equações são:
2x - 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + 0y + kz = 0
A matriz dos coeficientes fica assim:
2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k

Passo 3

Para saber se o sistema é indeterminado, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for igual a zero ($ \det(A) = 0 $), o sistema não terá uma solução única; ele pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Como estamos buscando quando o sistema é indeterminado (infinitas soluções), vamos igualar o determinante a zero e resolver para $ k $.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz:
det(A) = 2 cdot (1 cdot k - 1 cdot 0) - (-5) cdot (1 cdot k - 1 cdot 2) + 2 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 2)
Simplificando cada parte:
det(A) = 2(k) + 5(k - 2) + 2(-2)
det(A) = 2k + 5k - 10 - 4
det(A) = 7k - 14

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar o valor de $ k $:
k
Resolvendo para $ k $:
7k - 14 = 0
k

Resposta

O valor de $ k $ que torna o sistema indeterminado é $ k = 2 $. Portanto, a resposta correta é a opção e. k = 2.

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