Considere o seguinte sistema de equações lineares
l 3 x-5 y=1 2 x+z=3 5 x+y-z=0
Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas: , e . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a parte que trata de matrizes e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações de linha para chegar à sua forma escada reduzida. Depois, vamos determinar o posto e a nulidade do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes. Nosso sistema é:
3x - 5y = 1 2x + z = 3 5x + y - z = 0
Então, a matriz aumentada fica:
3 & -5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0

Passo 3

Agora, queremos transformar essa matriz para a forma escada reduzida por linhas. Isso significa que queremos ter “1s” na diagonal principal e zeros abaixo e acima desses “1s”. Vamos começar trabalhando na primeira coluna.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Para isso, podemos dividir toda a primeira linha por 3:
1 & -53 & 0 & | & 13 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do “1” que está na posição (1,1). Vamos fazer isso:
  • Linha 2: 2 - 2 times 1 = 0 0 - 2 times (-53) = 103 1 - 2 times 0 = 1 3 - 2 times 13 = 73
  • Linha 3: 5 - 5 times 1 = 0 1 - 5 times (-53) = 283 -1 - 5 times 0 = -1 0 - 5 times 13 = -53
Calculando:
Para a Linha 2:
1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 103 & 1 & | & 73 0 & 283 & -1 & | & -53
Para a Linha 3:
A matriz fica assim:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo por Linha 2 div 103 Rightarrow Linha 2 = (0, 1, 310, 710) para que o elemento (2,2) seja 1:
1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 283 & -1 & | & -53
Matriz atual:

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do “1” na segunda coluna (posição (3,2)). Para isso, usamos:
Linha 3 - 283 times Linha 2
Calculando:
0 - 283 times 0 = 0 283 - 283 times 1 = 0 -1 - 283 times 310 = -1 - 2810 = -3810 = -195 -53 - 283 times 710 = -53 - 19630 = -5030 - 19630 = -24630 = -415
A matriz fica:
1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 0 & -195 & | & -415

Passo 7

Agora, queremos que o elemento (3,3) seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por Linha 3 times (-519) Rightarrow Linha 3 = (0, 0, 1, 4119) :
1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 0 & 1 & | & 4119
Matriz atual:

Passo 8

Vamos agora zerar os elementos acima do “1” na terceira coluna. Começamos pela segunda linha:
Linha 2 - 310 times Linha 3
Calculando:
0 - 310 times 0 = 0 1 - 310 times 0 = 1 310 - 310 times 1 = 0 710 - 310 times 4119 = 710 - 123190 = 133190 - 123190 = 10190 = 119
Matriz fica:
1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 1 & 0 & | & 119 0 & 0 & 1 & | & 4119

Passo 9

Finalmente, vamos zerar o elemento (1,2) da primeira linha. Para isso, usamos:
Linha 1 + 53 times Linha 2
Calculando:
1 + 53 times 0 = 1 -53 + 53 times 1 = 0 0 + 53 times 0 = 0 13 + 53 times 119 = 13 + 557 = 1957 + 557 = 2457 = 819
A matriz final em forma escada reduzida é:
1 & 0 & 0 & | & 819 0 & 1 & 0 & | & 119 0 & 0 & 1 & | & 4119

Resposta

A matriz aumentada reduzida à sua forma escada reduzida por linhas é:
1 & 0 & 0 & | & 819 0 & 1 & 0 & | & 119 0 & 0 & 1 & | & 4119
O posto do sistema é 3 e a nulidade é 0.

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