Considere o sistema linear homogêneo A X=0, em que A=[lla & b c & d]. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se a d-b c=0, então o sistema A X=0 só possui a solução trivial x1=x2=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema linear homogêneo, que é da forma A X = 0, onde A é uma matriz. Aqui, a matriz A é dada por:
A = a & b c & d
A questão pede para a gente verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se a d - b c = 0, então o sistema A X = 0 só possui a solução trivial x1 = x2 = 0.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o determinante de uma matriz e como ele influencia as soluções de um sistema linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sistema linear homogêneo. Esse tipo de sistema tem todas as equações igualadas a zero, ou seja, na forma A X = 0. A solução trivial desse sistema é quando todas as incógnitas são zero, aqui x1 = x2 = 0.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante da matriz A. Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
det(A) = a d - b c
O determinante nos diz informações importantes sobre o sistema de equações. Se det(A) neq 0, o sistema tem apenas a solução trivial. J�� se det(A) = 0, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução não trivial.

Passo 4

No enunciado, nos dizem que a d - b c = 0, ou seja, o determinante de A é zero. Segundo a teoria, isso significa que o sistema pode ter mais de uma solução, ou seja, existem soluções não triviais além de x1 = x2 = 0.

Passo 5

Com base nisso, a afirmação que diz que se a d - b c = 0, então o sistema só tem a solução trivial, não está correta. Na verdade, quando o determinante é zero, o sistema pode ter infinitas soluções, não apenas a trivial.

Resposta

Falsa. Quando a d - b c = 0, o sistema A X = 0 pode ter soluções não triviais além de x1 = x2 = 0.

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