Considere o sistema linear homogêneo
, em que
. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se
, então o sistema
só possui a solução trivial
;
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema linear homogêneo, que é da forma
, onde
é uma matriz. Aqui, a matriz
é dada por:
A questão pede para a gente verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se
, então o sistema
só possui a solução trivial
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o determinante de uma matriz e como ele influencia as soluções de um sistema linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sistema linear homogêneo. Esse tipo de sistema tem todas as equações igualadas a zero, ou seja, na forma
. A solução trivial desse sistema é quando todas as incógnitas são zero, aqui
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o determinante da matriz
. Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
O determinante nos diz informações importantes sobre o sistema de equações. Se
, o sistema tem apenas a solução trivial. J�� se
, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução não trivial.
Passo 4
No enunciado, nos dizem que
, ou seja, o determinante de
é zero. Segundo a teoria, isso significa que o sistema pode ter mais de uma solução, ou seja, existem soluções não triviais além de
.
Passo 5
Com base nisso, a afirmação que diz que se
, então o sistema só tem a solução trivial, não está correta. Na verdade, quando o determinante é zero, o sistema pode ter infinitas soluções, não apenas a trivial.
Resposta
Falsa. Quando
, o sistema
pode ter soluções não triviais além de
.