Verificar se os seguintes pontos de R^4 determinam um hiperplano:
P1=(2,1,3,0), P2=(1,0,2,5), P3=(1,4,1,2) e P4=(0,1,3,2).
Relembrando que um hiperplano em R^4 é o conjunto de pontos (z, y, z, w) in R^4 que satisfazem uma equação do tipo
a x+b y+c z+d w=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se quatro pontos em estão todos numa mesma “super superfície” chamada hiperplano. Um hiperplano em é definido por uma equação do tipo . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, mais especificamente sobre sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os pontos , , e estejam todos no mesmo hiperplano. Isso quer dizer que existe uma única equação linear que todos esses pontos satisfazem. Em outras palavras, vamos montar um sistema de equações onde cada ponto satisfaz .

Passo 3

Vamos montar esse sistema de equações substituindo as coordenadas de cada ponto na equação do hiperplano:
2a + 1b + 3c + 0d = 0 1a + 0b + 2c + 5d = 0 1a + 4b + 1c + 2d = 0 0a + 1b + 3c + 2d = 0

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas ( 2 & 1 & 3 & 0 1 & 0 & 2 & 5 1 & 4 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & 2 ). Para verificar se esse sistema tem uma solução não trivial (ou seja, soluções onde não são todos zero), podemos representar esse sistema em forma de matriz e calcular o determinante.
A matriz dos coeficientes é:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, isso significa que o sistema tem infinitas soluções (o que indica que os pontos estão no mesmo hiperplano). Se for diferente de zero, só existe a solução trivial (todos 2 & 1 & 3 & 0 1 & 0 & 2 & 5 1 & 4 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & 2 iguais a zero), significando que os pontos não estão no mesmo hiperplano.
Calculando o determinante:
Ao expandir esse determinante, encontramos que ele é igual a zero.

Resposta

Sim, os pontos , , e determinam um hiperplano em .

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