Determine as condições que devem ser satisfeitas por a, b e c para garantir que o sistema de equações
r x+y+z=a x+z=b 2 x+y+3 z=c
seja consistente, isto é, admita ao menos uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quais condições os valores de , e precisam satisfazer para que o sistema de equações seja consistente, ou seja, que tenha pelo menos uma solução. Estamos lidando com um sistema linear com três equações e três incógnitas ( , e ). Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a análise da matriz ampliada e o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & | & a 1 & 0 & 1 & | & b 2 & 1 & 3 & | & c
Isso nos ajuda a visualizar melhor as relações entre as equações.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz em uma forma mais simples usando operações elementares de linha. Nosso objetivo é chegar em uma forma onde possamos identificar inconsistências ou condições para a existência de soluções.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o termo 1 & 1 & 1 & | & a 0 & -1 & 0 & | & b - a 0 & -1 & 1 & | & c - 2a dessas linhas:
Linha 2:
Linha 3:
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para eliminar o termo 1 & 1 & 1 & | & a 0 & -1 & 0 & | & b - a 0 & 0 & 1 & | & c - a - b :
Linha 3:
Simplificando o lado direito:
Então, a matriz fica:

Passo 5

Com a matriz triangularizada, podemos ver que não há nenhuma linha que resulte em uma equação inconsistente, como onde é diferente de zero. Portanto, o sistema é consistente se as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. A segunda equação implica que .
  2. A terceira equação implica que .
Essas soluções para e são válidas para qualquer valor de , e , desde que não haja inconsistência nas equações, o que não ocorre aqui.

Resposta

Para que o sistema seja consistente, os valores de , e devem satisfazer a condição . Assim, qualquer e , desde que seja igual a , garantem que o sistema tenha pelo menos uma solução.

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