Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(a) 9 x^2-4 y^2-18 x-16 y-43=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma hipérbole juntos! A gente precisa colocar a equação dada na forma padrão, identificar o centro, os vértices, os focos, calcular a excentricidade e até esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar técnicas de álgebra como o completamento do quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de 9x^2 - 4y^2 -18x -16y -43 = 0 e 9x^2 -18x -4y^2 -16y = 43 . A equação original é:
Vamos separar:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9x^2 -18x = 9(x^2 - 2x) e x^2 - 2x = (x - 1)^2 -1 . Para o 9(x^2 - 2x) = 9[(x - 1)^2 -1] = 9(x - 1)^2 -9 :
Completo o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 4

Fazendo o mesmo para o -4y^2 -16y = -4(y^2 +4y) :
y^2 +4y = (y +2)^2 -4
Completando o quadrado:
-4(y^2 +4y) = -4[(y +2)^2 -4] = -4(y +2)^2 +16
Então:

Passo 5

Substituindo de volta na equação reorganizada:
9(x - 1)^2 -9 -4(y +2)^2 +16 = 43
Simplificando os números:
9(x - 1)^2 -4(y +2)^2 +7 = 43
9(x - 1)^2 -4(y +2)^2 = 36

Passo 6

Dividindo tudo por 36 para simplificar:
9(x - 1)^236 - 4(y +2)^236 = 1
O que simplifica para:
(x - 1)^24 - (y +2)^29 = 1
Essa é a forma padrão da hipérbole.

Passo 7

Agora, identificamos os parâmetros:
  • Centro:
  • , então
  • , então
    Como o termo de é positivo, a hipérbole abre para os lados esquerdo e direito.

Passo 8

Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
  • Vértice 1:
  • Vértice 2:

Passo 9

Para encontrar os focos, calculamos c^2 = 4 + 9 = 13 onde c = raiz13 :
Então, os focos ficam a distância do centro:
  • Foco 1:
  • Foco 2:

Passo 10

A excentricidade e = ca = raiz132 é dada por:

Passo 11

Para esboçar o gráfico, a hipérbole terá dois ramos abrindo para a direita e esquerda, com centro em , vértices em e , e focos em . Os eixos da hipérbole são paralelo aos eixos coordenados.

Resposta

A forma padrão da hipérbole é:
(x - 1)^24 - (y +2)^29 = 1
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Gráfico: Hipérbole com ramos abrindo para a direita e esquerda, centrada em .

Exercícios relacionados

Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(c) 9 x^2-4 y^2-54 x+8 y+113=0
Obter uma equação geral, ou paramétrica, do plano, que contenha o ponto A(1,-2,1) e a reta
r: x+12=-1-y3, z=2
Boa Prova !!!
Descreva todas as possíveis matrizes 2 times 2, que estão na forma escalonada reduzida por linha.
Considere o seguinte sistema de equações lineares:
a^2 x-y & =0 x+b y & =0
com b in R-^* ( R-^* é o conjunto dos números reais negativos). Determine, se existe, o valor de a em função de b de modo que o sistema tenha infinitas soluções.