Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma hipérbole juntos! A gente precisa colocar a equação dada na forma padrão, identificar o centro, os vértices, os focos, calcular a excentricidade e até esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar técnicas de álgebra como o completamento do quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
. A equação original é:
Vamos separar:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Para o
:
Completo o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Passo 4
Fazendo o mesmo para o
:
Completando o quadrado:
Então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação reorganizada:
Simplificando os números:
Passo 6
Dividindo tudo por 36 para simplificar:
O que simplifica para:
Essa é a forma padrão da hipérbole.
Passo 7
Agora, identificamos os parâmetros:
- Centro:
-
, então -
, então
Como o termo deé positivo, a hipérbole abre para os lados esquerdo e direito.
Passo 8
Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
- Vértice 1:
- Vértice 2:
Passo 9
Para encontrar os focos, calculamos
onde
:
Então, os focos ficam a distância
do centro:
- Foco 1:
- Foco 2:
Passo 10
A excentricidade
é dada por:
Passo 11
Para esboçar o gráfico, a hipérbole terá dois ramos abrindo para a direita e esquerda, com centro em
, vértices em
e
, e focos em
. Os eixos da hipérbole são paralelo aos eixos coordenados.
Resposta
A forma padrão da hipérbole é:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Gráfico: Hipérbole com ramos abrindo para a direita e esquerda, centrada em
.
Exercícios relacionados
Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
Obter uma equação geral, ou paramétrica, do plano, que contenha o ponto
e a reta
Boa Prova !!!
Descreva todas as possíveis matrizes
, que estão na forma escalonada reduzida por linha.
Considere o seguinte sistema de equações lineares: