Descreva todas as possíveis matrizes 2 times 2, que estão na forma escalonada reduzida por linha.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para descrever todas as possíveis matrizes que estão na forma escalonada reduzida por linha. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre formas escalonadas de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é a forma escalonada reduzida por linha (também conhecida como forma reduzida de linha) e identificar como elas se comportam em matrizes .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a forma escalonada reduzida por linha. Uma matriz está nessa forma se ela satisfaz três condições:
  1. A primeira entrada não nula de cada linha (chamada de “pivô”) está à direita do pivô da linha acima.
  2. Cada pivô é igual a 1.
  3. Todos os elementos acima e abaixo de um pivô são zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas condições em matrizes . Existem diferentes casos que precisamos considerar para garantir que a matriz esteja na forma reduzida de linha.

Passo 4

Caso 1: A matriz é a matriz nula, onde todos os elementos são zero. Isso claramente satisfaz todas as condições da forma escalonada reduzida por linha.
0 & 0 0 & 0

Passo 5

Caso 2: A matriz tem um pivô na primeira linha e nenhum pivô na segunda linha. Nesse caso, a primeira linha terá um 1 seguido de qualquer número (vamos chamar de 1 & a 0 & 0 ), e a segunda linha será toda zero.
Aqui, pode ser qualquer número real.

Passo 6

Caso 3: A matriz tem pivôs em ambas as linhas, ou seja, é a matriz identidade 1 & 0 0 & 1 . Isso também atende todas as condições da forma reduzida de linha.

Passo 7

Esses são todos os possíveis casos para matrizes na forma escalonada reduzida por linha. Não existem outros formatos que atendam todas as condições dessa forma.

Resposta

Todas as matrizes 0 & 0 0 & 0 na forma escalonada reduzida por linha são:
  1. A matriz nula:
1 & a 0 & 0
  1. Matrizes com um pivô na primeira linha:
1 & 0 0 & 1
onde é qualquer número real.
  1. A matriz identidade:

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