Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss-Jordan para resolver sistemas de equações lineares. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificá-la até encontrarmos as soluções para as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma tabela:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Agora, queremos que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) seja 1, o que já está ok. Nosso próximo objetivo é zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Vamos subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:

Passo 4

Observamos que as Linhas 2 e 3 ficaram iguais. Isso indica que há dependência entre as equações, mas vamos continuar o processo. Nosso próximo passo é selecionar um pivô na segunda coluna. Porém, vemos que os elementos na segunda coluna já são zeros, então passamos para a terceira coluna.
Não temos um pivô claro aqui, portanto, vamos identificar que o sistema tem infinitas soluções ou é dependente.

Passo 5

Como temos uma linha que resulta em , isso simplifica para .
Agora, voltamos para a primeira equação:
Podemos expressar em termos de e :

Resposta

As soluções do sistema são:
ã
Ou seja, e podem ser quaisquer números reais, e e são determinados por esses valores.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte sistema de equações lineares
(a) Escreva o sistema acima na forma de uma equação matricial;
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.
Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (a)
Use o produto interno euclidiano em gerado por para calcular e .
Verificar se os seguintes pontos de determinam um hiperplano:
(i) e .
(ii) e .