Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (f) lx1+2 x2+x3=0 3 x1+6 x2+3 x3+x4=0 2 x1+4 x2+2 x3+x4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
x1 + 2x2 + x3 = 0 3x1 + 6x2 + 3x3 + x4 = 0 2x1 + 4x2 + 2x3 + x4 = 0
A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss-Jordan para resolver sistemas de equações lineares. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificá-la até encontrarmos as soluções para as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma tabela:
1 & 2 & 1 & | & 0 3 & 6 & 3 & 1 & 0 2 & 4 & 2 & 1 & 0
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Agora, queremos que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) seja 1, o que já está ok. Nosso próximo objetivo é zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Vamos subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0

Passo 4

Observamos que as Linhas 2 e 3 ficaram iguais. Isso indica que há dependência entre as equações, mas vamos continuar o processo. Nosso próximo passo é selecionar um pivô na segunda coluna. Porém, vemos que os elementos na segunda coluna já são zeros, então passamos para a terceira coluna.
Não temos um pivô claro aqui, portanto, vamos identificar que o sistema tem infinitas soluções ou é dependente.

Passo 5

Como temos uma linha que resulta em x1 + 2x2 + x3 = 0 , isso simplifica para x1 = -2x2 - x3 .
Agora, voltamos para a primeira equação:
Podemos expressar em termos de e :

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -2x2 - x3 x2 e x3 são livres x4 = 0 ã
Ou seja, e podem ser quaisquer números reais, e e são determinados por esses valores.

Exercícios relacionados