Use o produto interno euclidiano em gerado por para calcular e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o produto interno ⟨u, v⟩, a norma de u, e o quadrado da norma de (u - v) no espaço . Para isso, vamos usar o produto interno euclidiano gerado pela matriz .
Isso significa que, para dois vetores e , o produto interno é dado por:
Vamos precisar aplicar essa fórmula para calcular os valores pedidos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno .
Temos:
A transposta de é .
Agora, vamos multiplicar pela matriz e depois por :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Passo 3
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos o resultado por :
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de , que é definida como:
Primeiro, calculamos :
Vamos fazer essa multiplicação.
Passo 5
Multiplicando por :
Agora, multiplicamos por :
Então, , e a norma de é:
Passo 6
Por último, vamos calcular . Primeiro, encontramos :
Agora, calculamos a norma de :
Primeiro, calculamos o produto interno:
Vamos calcular isso:
Então,