Use o produto interno euclidiano em R^2 gerado por A=[cc1 & 0 2 & -1] para calcular lang<=u, vrang<=,|u| e |u-v|^2 com u=[l2 1] e v=[c-1 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o produto interno ⟨u, v⟩, a norma de u, e o quadrado da norma de (u - v) no espaço 1 & 0 2 & -1. Para isso, vamos usar o produto interno euclidiano gerado pela matriz lang<= u, v rang<= = u^T A v .
Isso significa que, para dois vetores e , o produto interno é dado por:
Vamos precisar aplicar essa fórmula para calcular os valores pedidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno u = 2 1, v = -1 1 .
Temos:
lang<= u, v rang<= = u^T A v = [2 1] 1 & 0 2 & -1 -1 1
A transposta de é .
Agora, vamos multiplicar pela matriz e depois por :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 3

Primeiro, multiplicamos [2 1] 1 & 0 2 & -1 = [2 times 1 + 1 times 2 2 times 0 + 1 times (-1)] = [2 + 2 0 - 1] = [4 -1] por [4 -1] -1 1 = 4 times (-1) + (-1) times 1 = -4 -1 = -5 :
Agora, multiplicamos o resultado por :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de |u| = raizlang<= u, u rang<= , que é definida como:
lang<= u, u rang<= = u^T A u = [2 1] 1 & 0 2 & -1 2 1
Primeiro, calculamos :
Vamos fazer essa multiplicação.

Passo 5

Multiplicando [2 1] 1 & 0 2 & -1 = [2 times 1 + 1 times 2 2 times 0 + 1 times (-1)] = [2 + 2 0 -1 ] = [4 -1] por [4 -1] 2 1 = 4 times 2 + (-1) times 1 = 8 -1 = 7 :
|u| = raiz7
Agora, multiplicamos por :
Então, , e a norma de é:

Passo 6

Por último, vamos calcular u - v = 2 1 - -1 1 = 2 - (-1) 1 - 1 = 3 0 . Primeiro, encontramos |u - v| = raizlang<= u - v, u - v rang<= :
lang<= u - v, u - v rang<= = (u - v)^T A (u - v)
Agora, calculamos a norma de 3 & 0 1 & 0 2 & -1 3 0 = [3 times 1 + 0 times 2 3 times 0 + 0 times (-1)] 3 0 = [3 0] 3 0 = 3 times 3 + 0 times 0 = 9 :
|u - v|^2 = 9
Primeiro, calculamos o produto interno:
Vamos calcular isso:
Então,

Resposta

lang<= u, v rang<= = -5, |u| = raiz7, |u - v|^2 = 9

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