Considere o seguinte sistema homogêneo de equações lineares:
(b) Determine uma base para o espaço-solução encontrado em (a) e sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares homogêneo:
A pergunta é: Determine uma base para o espaço-solução encontrado em (a) e sua dimensão.
Isso significa que, após resolver o sistema (provavelmente no item a), a gente precisa encontrar um conjunto de vetores que “geram” todas as soluções possíveis desse sistema e também descobrir quantos vetores tem nessa base (isso é a dimensão do espaço-solução).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o espaço-solução de um sistema homogêneo é todas as combinações lineares das soluções particulares desse sistema. Para encontrar uma base, precisamos encontrar vetores que sejam linearmente independentes e que consigam gerar todas as soluções possíveis.
Passo 3
Vamos começar resolvendo o sistema para encontrar as soluções. Observando as duas equações:
Perceba que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira. Isso significa que uma das equações é redundante e podemos usar apenas a primeira para encontrar as soluções.
Passo 4
Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Normalmente, escolhemos as variáveis que não estão restringidas pelas equações como variáveis livres. Aqui, vamos escolher , e como variáveis livres.
A partir da primeira equação:
Passo 5
Agora, podemos expressar o vetor solução em termos das variáveis livres , e :
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Agora, identificamos os vetores que multiplicam as variáveis livres:
para
para
para
Esses vetores são linearmente independentes e geram todas as soluções do sistema.
Passo 7
Portanto, uma base para o espaço-solução é o conjunto desses vetores:
, (4,,1,,0,,0), (-3,;0,;1,;0), (1,;0,;0,;1) ,
Resposta
Uma base para o espaço-solução é o conjunto dos vetores , e , e a dimensão deste espaço é 3.