Considere o seguinte sistema homogêneo de equações lineares:
c x-4 y+3 z-w=0 2 x-8 y+6 z-2 w=0
(b) Determine uma base para o espaço-solução encontrado em (a) e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares homogêneo:
l x - 4y + 3z - w = 0 2x - 8y + 6z - 2w = 0
A pergunta é: Determine uma base para o espaço-solução encontrado em (a) e sua dimensão.
Isso significa que, após resolver o sistema (provavelmente no item a), a gente precisa encontrar um conjunto de vetores que “geram” todas as soluções possíveis desse sistema e também descobrir quantos vetores tem nessa base (isso é a dimensão do espaço-solução).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço-solução de um sistema homogêneo é todas as combinações lineares das soluções particulares desse sistema. Para encontrar uma base, precisamos encontrar vetores que sejam linearmente independentes e que consigam gerar todas as soluções possíveis.

Passo 3

Vamos começar resolvendo o sistema para encontrar as soluções. Observando as duas equações:
Perceba que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira. Isso significa que uma das equações é redundante e podemos usar apenas a primeira para encontrar as soluções.

Passo 4

Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Normalmente, escolhemos as variáveis que não estão restringidas pelas equações como variáveis livres. Aqui, vamos escolher , e como variáveis livres.
A partir da primeira equação:

Passo 5

Agora, podemos expressar o vetor solução x = 4y - 3z + w y = y z = z w = w em termos das variáveis livres (x, y, z, w) = y(4, 1, 0, 0) + z(-3, 0, 1, 0) + w(1, 0, 0, 1) , e :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 6

Agora, identificamos os vetores que multiplicam as variáveis livres:
  • para
  • para
  • para
Esses vetores são linearmente independentes e geram todas as soluções do sistema.

Passo 7

Portanto, uma base para o espaço-solução é o conjunto desses vetores:
, (4,,1,,0,,0), (-3,;0,;1,;0), (1,;0,;0,;1) ,

Resposta

Uma base para o espaço-solução é o conjunto dos vetores , e , e a dimensão deste espaço é 3.

Exercícios relacionados