Verifique quais dos subconjuntos são linearmente independentes no espaço vetorial real dado:
a) no espaço .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para verificar quais subconjuntos são linearmente independentes no espaço vetorial real . O conjunto dado é . Vamos precisar entender o que é independência linear e usar alguns métodos para testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Uma combinação linear é quando você multiplica cada vetor por um número e soma tudo, certo?
Passo 3
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com os vetores como colunas e ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero. Se for, os vetores são independentes. Se não, eles são dependentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os quatro vetores:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se existe alguma combinação dos quatro vetores que resulta no vetor zero. Se só a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero) funcionar, então são independentes. Caso contrário, são dependentes.
Passo 6
Observando os vetores, percebemos que os três primeiros são as bases padrão de , que são naturalmente independentes. Vamos ver se o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação desses três.
Passo 7
Vamos tentar encontrar coeficientes a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (2,2,5) , a = 2 b = 2 c = 5 e tais que:
Isso dá o sistema:
Passo 8
Como encontramos valores para , e que satisfazem o sistema, isso significa que o quarto vetor é uma combinação linear dos três primeiros. Portanto, ele não adiciona nada de novo em termos de independência.
Resposta
Os subconjuntos formados pelos três primeiros vetores são linearmente independentes no espaço , mas o conjunto completo com o quarto vetor é linearmente dependente.