Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
Mostre que valem os Axiomas M1,M2 e M3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, no conjunto
de todos os pares ordenados de números reais, com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, os axiomas M1, M2 e M3 são válidos. Isso envolve conceitos de espacos vetoriais e os axiomas que definem um espaço vetorial. Vamos precisar entender como essas operações funcionam e aplicar cada axioma para verificar se estão sendo satisfeitos.
Passo 2
Vamos começar pelo Axioma M1, que geralmente fala sobre a fechamento da adição. Isso quer dizer que, quando a gente soma dois vetores do conjunto
, o resultado também deve estar em
.
Então, dado
e
em
, a soma
é:
Como
e
são números reais (já que a soma de dois reais é real), o par resultante
também pertence a
.
Portanto, o Axioma M1 está satisfeito.
Passo 3
Agora vamos para o Axioma M2, que geralmente trata da existência do elemento neutro para a adição, ou seja, existe um vetor zero em
tal que, ao somarmos qualquer vetor a ele, não mudamos o vetor original.
O elemento neutro deve ser um vetor
, pois:
Isso mostra que
é de fato o elemento neutro para a adição em
. Assim, o Axioma M2 está validado.
Passo 4
Por fim, vamos verificar o Axioma M3, que geralmente se refere à associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores
em
, a soma não depende de como a gente agrupa os vetores:
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro,
, então:
Agora,
, então:
Como os resultados são iguais, a associatividade está garantida. Portanto, o Axioma M3 também é válido.
Resposta
Assim, mostramos que os Axiomas M1, M2 e M3 estão satisfeitos no conjunto
com as operações definidas, confirmando que
atende a esses axiomas de espaço vetorial.