Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(x1, y1) e v=(x2, y2) por u+v & =(x1+x2, y1+y2) lambda u & =(0, lambda y1) Mostre que valem os Axiomas M1,M2 e M3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, no conjunto de todos os pares ordenados de números reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar , os axiomas M1, M2 e M3 são válidos. Isso envolve conceitos de espacos vetoriais e os axiomas que definem um espaço vetorial. Vamos precisar entender como essas operações funcionam e aplicar cada axioma para verificar se estão sendo satisfeitos.

Passo 2

Vamos começar pelo Axioma M1, que geralmente fala sobre a fechamento da adição. Isso quer dizer que, quando a gente soma dois vetores do conjunto u + v = (x1 + x2, y1 + y2) , o resultado também deve estar em .
Então, dado e em , a soma é:
Como e são números reais (já que a soma de dois reais é real), o par resultante também pertence a .
Portanto, o Axioma M1 está satisfeito.

Passo 3

Agora vamos para o Axioma M2, que geralmente trata da existência do elemento neutro para a adição, ou seja, existe um vetor zero em u + 0 = (x1 + 0, y1 + 0) = (x1, y1) = u tal que, ao somarmos qualquer vetor a ele, não mudamos o vetor original.
O elemento neutro deve ser um vetor , pois:
Isso mostra que é de fato o elemento neutro para a adição em . Assim, o Axioma M2 está validado.

Passo 4

Por fim, vamos verificar o Axioma M3, que geralmente se refere à associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores (u + v) + w = u + (v + w) em (u + v) + w = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3) , a soma não depende de como a gente agrupa os vetores:
u + (v + w) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro, , então:
Agora, , então:
Como os resultados são iguais, a associatividade está garantida. Portanto, o Axioma M3 também é válido.

Resposta

Assim, mostramos que os Axiomas M1, M2 e M3 estão satisfeitos no conjunto com as operações definidas, confirmando que atende a esses axiomas de espaço vetorial.

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