Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a série infinita da função cosseno, centrada em
, é igual a
. Para isso, vamos usar a Expansão de Taylor, que é uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos baseados nas derivadas da função. Vamos precisar calcular as derivadas do cosseno e montar a série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Expansão de Taylor. A fórmula geral para a série de Taylor de uma função
centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso para a função
. Primeiro, precisamos calcular as derivadas de
e avaliar cada uma em
.
- Primeira derivada:
→ - Segunda derivada:
→ - Terceira derivada:
→ - Quarta derivada:
→
E assim por diante. Observamos que as derivadas de
se repetem a cada quatro termos.
Passo 4
Percebemos que somente as derivadas de ordem par (segunda, quarta, sexta, …) são diferentes de zero. Isso significa que, na série de Taylor, os termos com potências ímpares de
vão ser zero. Portanto, a série só terá termos com
.
Vamos organizar isso:
Substituindo os valores das derivadas:
Passo 5
Agora, vamos generalizar esse padrão. Observamos que os sinais alternam entre positivo e negativo, e os expoentes de
são
onde
começa em
. Além disso, os fatores no denominador são
. Então, podemos escrever a série de forma compacta usando a notação de somatório:
Resposta
Pronto! Demonstramos que a série de Taylor para
centrada em
é de fato: