Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0. cos x=sumn=0^infty x^2 n(2 n)!(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a série infinita da função cosseno, centrada em , é igual a . Para isso, vamos usar a Expansão de Taylor, que é uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos baseados nas derivadas da função. Vamos precisar calcular as derivadas do cosseno e montar a série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Expansão de Taylor. A fórmula geral para a série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n centrada em (também chamada de série de Maclaurin) é:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para a função . Primeiro, precisamos calcular as derivadas de e avaliar cada uma em .
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas de se repetem a cada quatro termos.

Passo 4

Percebemos que somente as derivadas de ordem par (segunda, quarta, sexta, …) são diferentes de zero. Isso significa que, na série de Taylor, os termos com potências ímpares de cos x = f(0) + f''(0)2!x^2 + f''''(0)4!x^4 + cdots vão ser zero. Portanto, a série só terá termos com cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots .
Vamos organizar isso:
Substituindo os valores das derivadas:

Passo 5

Agora, vamos generalizar esse padrão. Observamos que os sinais alternam entre positivo e negativo, e os expoentes de cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! são onde começa em . Além disso, os fatores no denominador são . Então, podemos escrever a série de forma compacta usando a notação de somatório:

Resposta

Pronto! Demonstramos que a série de Taylor para cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! centrada em é de fato:

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