Considere V um espaço vetorial sobre o corpo K. Mostre que:
a) Se dois vetores elementos de V são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, especificamente falando sobre dependência linear entre vetores em um espaço vetorial V sobre um corpo K. O que a gente precisa mostrar é que, se dois vetores em V são linearmente dependentes, então um deles é múltiplo escalar do outro. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem linearmente dependentes e o que é ser múltiplo escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente dependentes. Dois vetores v1 e v2 em V são linearmente dependentes se existir uma combinação linear deles que resulte no vetor zero, ou seja, existem escalares a e b, não ambos zero, tais que:
av1 + bv2 = 0
Aqui, 0 é o vetor zero em V.

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre ser múltiplo escalar. Dizemos que v1 é um múltiplo escalar de v2 se existir um escalar k in K tal que:
v1 = kv2
Ou, de forma equivalente:
v2 = kv1

Passo 4

Vamos assumir que v1 e v2 são linearmente dependentes. Então, existem a, b in K, não ambos zero, tal que:
av1 + bv2 = 0
Precisamos mostrar que essa relação implica que um dos vetores é múltiplo escalar do outro.

Passo 5

Vamos analisar duas situações possíveis:
  1. Caso 1: b neq 0
  2. Caso 2: b = 0
Vamos ver o que acontece em cada caso.

Passo 6

Caso 1: Se b neq 0, podemos isolar v2 na equação:
av1 + bv2 = 0 bv2 = -av1 v2 = (-ab)v1
Aqui, k = -ab é um escalar em K. Isso mostra que v2 é um múltiplo escalar de v1.

Passo 7

Caso 2: Se b = 0, então a equação original fica:
av1 + 0v2 = 0 av1 = 0
Como a não pode ser zero (porque não ambos os escalar são zero), isso implica que:
v1 = 0
Ou seja, o vetor v1 é o vetor zero, que é considerado um múltiplo escalar de qualquer vetor (já que 0 = 0 times v2).

Passo 8

Em ambos os casos, mostramos que um dos vetores é um múltiplo escalar do outro. Portanto, se dois vetores em V são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro.

Resposta

Portanto, se dois vetores em V são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro.

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