Considere
um espaço vetorial sobre o corpo
. Mostre que:
a) Se dois vetores elementos de
são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro.
a) Se dois vetores elementos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, especificamente falando sobre dependência linear entre vetores em um espaço vetorial
sobre um corpo
. O que a gente precisa mostrar é que, se dois vetores em
são linearmente dependentes, então um deles é múltiplo escalar do outro. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem linearmente dependentes e o que é ser múltiplo escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente dependentes. Dois vetores
e
em
são linearmente dependentes se existir uma combinação linear deles que resulte no vetor zero, ou seja, existem escalares
e
, não ambos zero, tais que:
Aqui,
é o vetor zero em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre ser múltiplo escalar. Dizemos que
é um múltiplo escalar de
se existir um escalar
tal que:
Ou, de forma equivalente:
Passo 4
Vamos assumir que
e
são linearmente dependentes. Então, existem
, não ambos zero, tal que:
Precisamos mostrar que essa relação implica que um dos vetores é múltiplo escalar do outro.
Passo 5
Vamos analisar duas situações possíveis:
- Caso 1:
- Caso 2:
Vamos ver o que acontece em cada caso.
Passo 6
Caso 1: Se
, podemos isolar
na equação:
Aqui,
é um escalar em
. Isso mostra que
é um múltiplo escalar de
.
Passo 7
Caso 2: Se
, então a equação original fica:
Como
não pode ser zero (porque não ambos os escalar são zero), isso implica que:
Ou seja, o vetor
é o vetor zero, que é considerado um múltiplo escalar de qualquer vetor (já que
).
Passo 8
Em ambos os casos, mostramos que um dos vetores é um múltiplo escalar do outro. Portanto, se dois vetores em
são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro.
Resposta
Portanto, se dois vetores em
são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro.