Resolva o sistema acima usando o método da eliminação de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me mandou usando o método da eliminação de Gauss. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o método de eliminação para resolver sistemas de equações. O que a gente vai precisar é organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar até encontrarmos os valores das incógnitas e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma equação do sistema:
Aqui, as colunas correspondem aos coeficientes de e , e a última coluna são os termos constantes das equações.
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminar os coeficientes abaixo do primeiro elemento da primeira coluna () para transformar a matriz em uma forma triangular superior. Para facilitar, vamos usar a segunda linha como a nossa primeira pivot, já que o coeficiente de nela é .
Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os das outras linhas. Para isso:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
Vamos fazer essas operações:
Linha 2: , , , ,
Linha 3: , , , ,
Linha 4: , , , ,
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente de na segunda linha seja . Para isso, dividimos toda a segunda linha por :
Passo 6
Agora, vamos eliminar os das outras linhas usando a segunda linha como pivot:
Linha 1:
Linha 3:
Linha 4:
Fazendo as contas:
Linha 1: , , , ,
Linha 3: , , , ,
Linha 4: , , , ,
A matriz atualizada:
Passo 7
Vamos simplificar as linhas 3 e 4 multiplicando por para eliminar as frações:
Linha 3: resulta em
Linha 4: resulta em
A matriz fica:
Passo 8
Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o coeficiente de na terceira linha seja . Para isso, dividimos a terceira linha por :
Simplificando para :
Passo 9
Vamos eliminar o da quarta linha usando a terceira linha como pivot:
Linha 4:
Calculando:
,
A matriz atualizada:
Passo 10
Vamos simplificar a quarta linha dividindo por para obter :
Então, .
Passo 11
Agora que temos , vamos voltar para a terceira linha para encontrar :