Considere o seguinte sistema linear:
Resolva o sistema acima usando o método da eliminação de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me mandou usando o método da eliminação de Gauss. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o método de eliminação para resolver sistemas de equações. O que a gente vai precisar é organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar até encontrarmos os valores das incógnitas e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma equação do sistema:
Aqui, as colunas correspondem aos coeficientes de e , e a última coluna são os termos constantes das equações.

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os coeficientes abaixo do primeiro elemento da primeira coluna ( ) para transformar a matriz em uma forma triangular superior. Para facilitar, vamos usar a segunda linha como a nossa primeira pivot, já que o coeficiente de nela é .
Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os das outras linhas. Para isso:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Vamos fazer essas operações:
  • Linha 2: , , , ,
  • Linha 3: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente de na segunda linha seja . Para isso, dividimos toda a segunda linha por :

Passo 6

Agora, vamos eliminar os das outras linhas usando a segunda linha como pivot:
  • Linha 1:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Fazendo as contas:
  • Linha 1: , , , ,
  • Linha 3: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
A matriz atualizada:

Passo 7

Vamos simplificar as linhas 3 e 4 multiplicando por para eliminar as frações:
  • Linha 3: resulta em
  • Linha 4: resulta em
A matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o coeficiente de na terceira linha seja . Para isso, dividimos a terceira linha por :
Simplificando para :

Passo 9

Vamos eliminar o da quarta linha usando a terceira linha como pivot:
  • Linha 4:
Calculando:
,
A matriz atualizada:

Passo 10

Vamos simplificar a quarta linha dividindo por para obter :
Então, .

Passo 11

Agora que temos , vamos voltar para a terceira linha para encontrar :
Substituindo :
Calculando:
Simplificando para :
Então, .

Passo 12

Com e conhecidos, vamos para a segunda linha:
Substituindo e :
Calculando:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum:
Então, .

Passo 13

Por fim, vamos para a primeira linha:
Substituindo e :
Calculando:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum:
Então, .

Resposta

As soluções do sistema são:

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Trabalhando com arredondamento simétrico para três algarismos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo pelo método da Eliminação de Gauss, sem e com pivoteamento parcial. Qual resultado melhor se aproxima da solução correta do sistema?
Verifique que
Considere o seguinte sistema linear:
Encontre os fatores LU deste sistema e resolva-o (sem estratégia de pivoteamento parcial).
Suponha que os fatores e de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
Use os fatores e para resolver o sistema considerando que o vetor de constantes seja .