Considere o seguinte sistema linear:
cc 2 x1+2 x2+x3+x4= & 3 x1-x2+2 x3-x4= & -4 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4= & -1 4 x1+3 x2+2 x3+x4= & 3 cdots
Resolva o sistema acima usando o método da eliminação de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me mandou usando o método da eliminação de Gauss. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o método de eliminação para resolver sistemas de equações. O que a gente vai precisar é organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar até encontrarmos os valores das incógnitas e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma equação do sistema:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 3 1 & -1 & 2 & -1 & | & -4 3 & 2 & -3 & -2 & | & -1 4 & 3 & 2 & 1 & | & 3
Aqui, as colunas correspondem aos coeficientes de e , e a última coluna são os termos constantes das equações.

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os coeficientes abaixo do primeiro elemento da primeira coluna ( 1 & -1 & 2 & -1 & | & -4 2 & 2 & 1 & 1 & | & 3 3 & 2 & -3 & -2 & | & -1 4 & 3 & 2 & 1 & | & 3 ) para transformar a matriz em uma forma triangular superior. Para facilitar, vamos usar a segunda linha como a nossa primeira pivot, já que o coeficiente de nela é .
Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os 1 & -1 & 2 & -1 & | & -4 0 & 4 & -3 & 3 & | & 11 0 & 5 & -9 & 1 & | & 11 0 & 7 & -6 & 5 & | & 19 das outras linhas. Para isso:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Vamos fazer essas operações:
  • Linha 2: , , , ,
  • Linha 3: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente de 1 & -1 & 2 & -1 & | & -4 0 & 1 & -34 & 34 & | & 114 0 & 5 & -9 & 1 & | & 11 0 & 7 & -6 & 5 & | & 19 na segunda linha seja . Para isso, dividimos toda a segunda linha por :

Passo 6

Agora, vamos eliminar os 1 & 0 & 54 & -14 & | & -54 0 & 1 & -34 & 34 & | & 114 0 & 0 & -274 & -74 & | & -154 0 & 0 & -34 & 54 & | & 254 das outras linhas usando a segunda linha como pivot:
  • Linha 1:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Fazendo as contas:
  • Linha 1: , , , ,
  • Linha 3: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
A matriz atualizada:

Passo 7

Vamos simplificar as linhas 3 e 4 multiplicando por 1 & 0 & 54 & -14 & | & -54 0 & 1 & -34 & 34 & | & 114 0 & 0 & 27 & 7 & | & 15 0 & 0 & 3 & -5 & | & -25 para eliminar as frações:
  • Linha 3: resulta em
  • Linha 4: resulta em
A matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o coeficiente de 1 & 0 & 54 & -14 & | & -54 0 & 1 & -34 & 34 & | & 114 0 & 0 & 1 & 727 & | & 1527 0 & 0 & 3 & -5 & | & -25 na terceira linha seja 1 & 0 & 54 & -14 & | & -54 0 & 1 & -34 & 34 & | & 114 0 & 0 & 1 & 727 & | & 59 0 & 0 & 3 & -5 & | & -25 . Para isso, dividimos a terceira linha por :
Simplificando para :

Passo 9

Vamos eliminar o 1 & 0 & 54 & -14 & | & -54 0 & 1 & -34 & 34 & | & 114 0 & 0 & 1 & 727 & | & 59 0 & 0 & 0 & -529 & | & -803 da quarta linha usando a terceira linha como pivot:
  • Linha 4:
Calculando:
,
A matriz atualizada:

Passo 10

Vamos simplificar a quarta linha dividindo por x4 = -803-529 = 803 times 952 = 720156 = 12026 = 6013 para obter :
Então, .

Passo 11

Agora que temos x3 + 727x4 = 59 , vamos voltar para a terceira linha para encontrar x3 + 727 times 6013 = 59 :
x3 + 420351 = 59
Substituindo x3 = 59 - 2013 = 65 - 180117 = -115117 = -115117 :
Calculando:
Simplificando para :
Então, .

Passo 12

Com x2 - 34x3 + 34x4 = 114 e x2 - 34 times (-115117) + 34 times 6013 = 114 conhecidos, vamos para a segunda linha:
x2 + 345468 + 18052 = 114
Substituindo x2 + 115156 + 4513 = 114 e x2 = 114 - 115156 - 4513 = 429156 - 115156 - 540156 = -226156 = -11378 :
Calculando:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum:
Então, .

Passo 13

Por fim, vamos para a primeira linha:
x1 + 54x3 - 14x4 = -54
Substituindo x1 + 54 times (-115117) - 14 times 6013 = -54 e x1 - 575468 - 6052 = -54 :
x1 - 575468 - 1513 = -54
Calculando:
x1 = -54 + 575468 + 1513 = -585468 + 575468 + 540468 = 530468 = 265234
Simplificando:
Convertendo para denominador comum:
Então, .

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 265234, x2 = -11378, x3 = -115117, x4 = 6013

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