Considere o seguinte sistema linear:
Encontre os fatores LU deste sistema e resolva-o (sem estratégia de pivoteamento parcial).

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema de equações lineares pra resolver. O conteúdo que vamos usar aqui é a Decomposição LU, que divide a matriz do sistema em duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Pra isso, vamos precisar reorganizar as equações para encontrar essas matrizes e, depois, resolver o sistema usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial :
Nosso objetivo é encontrar e tal que , onde é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos começar preenchendo a matriz com 1s na diagonal e zeros acima, e a matriz com zeros abaixo da diagonal:

Passo 4

Agora, igualamos e obtemos as seguintes equações:

Passo 5

Com isso, encontramos as matrizes e :

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema usando e . Primeiro, resolvemos :
Então, .

Passo 7

Em seguida, resolvemos :
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Considere o seguinte sistema linear:
Resolva o sistema acima usando o método da eliminação de Gauss.
Trabalhando com arredondamento simétrico para três algarismos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo pelo método da Eliminação de Gauss, sem e com pivoteamento parcial. Qual resultado melhor se aproxima da solução correta do sistema?
Suponha que os fatores e de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
Use os fatores e para resolver o sistema considerando que o vetor de constantes seja .
Suponha que os fatores e de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
Calcule o determinante da matriz de coeficientes correspondente ao sistema.