Considere o seguinte sistema linear:
r 4 x1+2 x2+x3=4 x1+x2+2 x3=4 4 x1+3 x2+2 x3=5
Encontre os fatores LU deste sistema e resolva-o (sem estratégia de pivoteamento parcial).

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema de equações lineares pra resolver. O conteúdo que vamos usar aqui é a Decomposição LU, que divide a matriz do sistema em duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Pra isso, vamos precisar reorganizar as equações para encontrar essas matrizes e, depois, resolver o sistema usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 4 & 2 & 1 1 & 1 & 2 4 & 3 & 2 , b = 4 4 5 :
Nosso objetivo é encontrar e tal que , onde é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos começar preenchendo a matriz L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 com 1s na diagonal e zeros acima, e a matriz com zeros abaixo da diagonal:

Passo 4

Agora, igualamos e obtemos as seguintes equações:

Passo 5

Com isso, encontramos as matrizes L = 1 & 0 & 0 14 & 1 & 0 1 & 2 & 1 , U = 4 & 2 & 1 0 & 12 & 74 0 & 0 & -52 e :

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema 4 3 -2 usando e . Primeiro, resolvemos :
Então, .

Passo 7

Em seguida, resolvemos :
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = x1 x2 x3 = -45 165 45

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