Trabalhando com arredondamento simétrico para três algarismos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo pelo método da Eliminação de Gauss, sem e com pivoteamento parcial. Qual resultado melhor se aproxima da solução correta do sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra resolver um sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial. A gente vai trabalhar com arredondamento simétrico pra três algarismos significativos em todas as etapas. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente resolução de sistemas lineares. Pra resolver, a gente vai precisar manipular as equações pra eliminar variáveis e chegar numa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
Nosso objetivo é isolar uma das variáveis pra resolver o sistema. Vamos usar o Método de Eliminação de Gauss, que basicamente transforma o sistema em uma forma escalonada pra facilitar a resolução.
Passo 3
Sem Pivoteamento:
Começamos pelo primeiro elemento da primeira equação, que é . Queremos usar esse número pra eliminar o da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por , mas como é bem pequeno, isso pode gerar problemas numéricos, mas vamos seguir:
Multiplicando a primeira equação por (para eliminar os decimais):
Agora, nossa segunda equação é:
Agora, subtraímos a segunda equação da equação modificada da primeira:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na segunda equação original:
Passo 4
Com Pivoteamento Parcial:
Pivoteamento parcial envolve trocar as linhas para que o maior coeficiente absoluto na coluna atual seja usado como pivô, melhorando a estabilidade numérica.
Olhemos para o primeiro coeficiente das duas equações: e . O maior em valor absoluto é , que já está na segunda equação. Então, vamos trocar as equações:
Nova ordem do sistema:
Agora, usamos o Método de Eliminação de Gauss. Queremos eliminar da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por :
Subtraímos essa nova equação da segunda equação:
Resolvendo para :
Substituímos na primeira equação:
Resposta
Tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial, a solução aproximada do sistema é e . Ambas as abordagens deram o mesmo resultado, que é a melhor aproximação da solução correta do sistema.