Trabalhando com arredondamento simétrico para três algarismos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo pelo método da Eliminação de Gauss, sem e com pivoteamento parcial. Qual resultado melhor se aproxima da solução correta do sistema?
r 0.0001 x1+x2=1 x1+x2=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra resolver um sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial. A gente vai trabalhar com arredondamento simétrico pra três algarismos significativos em todas as etapas. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente resolução de sistemas lineares. Pra resolver, a gente vai precisar manipular as equações pra eliminar variáveis e chegar numa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
r 0.0001 x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2
Nosso objetivo é isolar uma das variáveis pra resolver o sistema. Vamos usar o Método de Eliminação de Gauss, que basicamente transforma o sistema em uma forma escalonada pra facilitar a resolução.

Passo 3

Sem Pivoteamento:
Começamos pelo primeiro elemento da primeira equação, que é 0.0001. Queremos usar esse número pra eliminar o x1 da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por x10.0001, mas como é bem pequeno, isso pode gerar problemas numéricos, mas vamos seguir:
Multiplicando a primeira equação por 10000 (para eliminar os decimais):
(0.0001 x1 + x2) times 10000 Rightarrow x1 + 10000 x2 = 10000
Agora, nossa segunda equação é:
x1 + x2 = 2
Agora, subtraímos a segunda equação da equação modificada da primeira:
(x1 + 10000 x2) - (x1 + x2) = 10000 - 2 9999 x2 = 9998
Resolvendo para x2:
x2 = 99989999 approx 1.000
Agora, substituímos x2 na segunda equação original:
x1 + 1.000 = 2 x1 = 2 - 1.000 x1 = 1.000

Passo 4

Com Pivoteamento Parcial:
Pivoteamento parcial envolve trocar as linhas para que o maior coeficiente absoluto na coluna atual seja usado como pivô, melhorando a estabilidade numérica.
Olhemos para o primeiro coeficiente das duas equações: 0.0001 e 1. O maior em valor absoluto é 1, que já está na segunda equação. Então, vamos trocar as equações:
Nova ordem do sistema:
r x1 + x2 = 2 0.0001 x1 + x2 = 1
Agora, usamos o Método de Eliminação de Gauss. Queremos eliminar x1 da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por 0.0001:
0.0001 x1 + 0.0001 x2 = 0.0002
Subtraímos essa nova equação da segunda equação:
(0.0001 x1 + x2) - (0.0001 x1 + 0.0001 x2) = 1 - 0.0002 0.9999 x2 = 0.9998
Resolvendo para x2:
x2 = 0.99980.9999 approx 1.000
Substituímos x2 na primeira equação:
x1 + 1.000 = 2 x1 = 2 - 1.000 x1 = 1.000

Resposta

Tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial, a solução aproximada do sistema é x1 = 1.000 e x2 = 1.000. Ambas as abordagens deram o mesmo resultado, que é a melhor aproximação da solução correta do sistema.

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