Suponha que os fatores L e U de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
L=(lll 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 3 & 1 ) e U=(lll 2 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 1 )
Use os fatores L e U para resolver o sistema considerando que o vetor de constantes seja b=(1,1,2)^T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando as fatorações e que foram dadas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente da técnica de decomposição LU. O que precisamos fazer é resolver primeiro (substituição direta) e depois resolver (substituição retroativa) para encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 3 & 1 , b = 1 1 2 . A matriz 1 cdot y1 + 0 cdot y2 + 0 cdot y3 = 1 1 cdot y1 + 1 cdot y2 + 0 cdot y3 = 1 1 cdot y1 + 3 cdot y2 + 1 cdot y3 = 2 e o vetor são:
Isso nos dá o sistema:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
y1 = 1
Agora que temos 1 + y2 = 1 implies y2 = 0 , substituímos na segunda equação:
1 + 3 cdot 0 + y3 = 2 implies y3 = 1
Por fim, substituímos y = 1 0 1 e na terceira equação:
Então, o vetor é:

Passo 4

Agora vamos resolver U = 2 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 1 , y = 1 0 1 . A matriz 2x1 + 2x2 + x3 = 1 0x1 + 2x2 + 2x3 = 0 0x1 + 0x2 + 1x3 = 1 e o vetor são:
Isso nos dá o sistema:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de baixo para cima. Começamos pela última equação:
x3 = 1
Substituímos 2x2 + 2 cdot 1 = 0 implies 2x2 = -2 implies x2 = -1 na segunda equação:
2x1 + 2(-1) + 1(1) = 1 implies 2x1 - 2 + 1 = 1 implies 2x1 - 1 = 1 implies 2x1 = 2 implies x1 = 1
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1 -1 1

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