Beleza, vamos lá! O enunciado que você enviou pede para a gente verificar que:
lambdai=lang<=vi, wrang<=|vi|^2, i=1,2,3
Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente lidando com produtos internos e projeções de vetores. Vamos precisar saber como calcular o produto interno entre vetores e a norma de um vetor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno entre dois vetores. Se temos dois vetores lang<= a, b rang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3 e , o produto interno é dado por:
Esse valor nos ajuda a entender a relação entre os vetores, como o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, a norma de um vetor | v | = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é a sua “comprimento” e é calculada por:
| v |^2 = v1^2 + v2^2 + v3^2
A norma ao quadrado, que aparece no denominador da expressão que precisamos verificar, é simplesmente:
Passo 4
A expressão que queremos verificar para Projvi w = lang<= vi, w rang<=| vi |^2 vi está relacionada à projeção de um vetor sobre o vetor . A fórmula geral para a projeção de em é:
Aqui, o coeficiente é justamente o fator que multiplica na projeção.
Passo 5
Então, comparando com a expressão que queremos verificar:
lambdai = lang<= vi, w rang<=| vi |^2
Vemos que é exatamente o coeficiente da projeção de sobre . Isso significa que representa quanto da direção de está presente em .
Resposta
Concluímos que a expressão para lambdai=lang<=vi, wrang<=|vi|^2, i=1,2,3 está correta, pois ela representa o coeficiente da projeção do vetor sobre cada vetor , estando assim validada: