Considere o seguinte sistema linear :
l x-y=b1-a1 y-z=b2-a2 z-w=b3-a3 x-w=a4-b4
onde a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3 e b4 são parâmetros reais. Qual a relação entre os parâmetros de forma que o sistema seja :
© SI

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é descobrir qual relação entre os parâmetros e faz com que esse sistema seja SI (Sistema Independente). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de equações lineares e como determinar se eles têm uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as equações do sistema:
x - y = b1 - a1 y - z = b2 - a2 z - w = b3 - a3 x - w = a4 - b4
O que queremos é encontrar uma relação entre os 's e 's que garanta que esse sistema tenha uma única solução, ou seja, que seja independente.

Passo 3

Para descobrir isso, vamos somar as três primeiras equações:
  1. (x - y) + (y - z) + (z - w) = (b1 - a1) + (b2 - a2) + (b3 - a3)
  2. x - w = (b1 + b2 + b3) - (a1 + a2 + a3)
Somando os lados esquerdo e direito:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Agora, compare essa expressão com a quarta equação do sistema:
x - w = a4 - b4
Para que ambas as expressões sejam verdadeiras ao mesmo tempo, os lados direitos devem ser iguais. Ou seja:
(b1 + b2 + b3) - (a1 + a2 + a3) = a4 - b4

Passo 5

Vamos reorganizar essa igualdade para deixar mais clara a relação entre os parâmetros:
b1 + b2 + b3 + b4 = a1 + a2 + a3 + a4
Isso significa que a soma dos 's deve ser igual à soma dos 's para que o sistema seja independente e tenha uma única solução.

Resposta

A relação necessária é:
b1 + b2 + b3 + b4 = a1 + a2 + a3 + a4

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