Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos e C . A parábola tem o eixo como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.

Passo 1

Oi! Vamos resolver o problema de encontrar a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos , e . Sabemos que o eixo de simetria é o eixo . Para isso, vamos usar a fórmula da parábola com o eixo de simetria vertical e substituir os pontos dados para encontrar os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo é:
Como o eixo de simetria é o eixo , isso significa que a parábola é simétrica em relação a esse eixo. Portanto, o termo com ( ) deve ser zero para garantir essa simetria. Assim, a equação simplifica para:
Agora, precisamos encontrar os valores de e usando os pontos fornecidos.

Passo 3

Vamos começar substituindo o ponto na equação. Substituindo e , temos:
Então, já temos . A equação agora fica:

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto para encontrar o valor de . Substituindo e :
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 5

Com os valores de e encontrados, a equação reduzida da parábola é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o vértice da parábola. Como a equação está na forma e o termo com é zero, o vértice está no ponto . Portanto, o vértice é:

Passo 7

Para encontrar o foco e a diretriz da parábola, vamos usar a fórmula que relaciona o coeficiente com a distância do vértice ao foco ( ):
Substituindo :
Como , a parábola abre para cima, então o foco está acima do vértice.

Passo 8

Então, o foco fica a $ \frac{9}{8}$ unidades acima do vértice :
A diretriz é uma reta horizontal abaixo do vértice, à mesma distância do foco, ou seja, $ \frac{9}{8}$ unidades abaixo de :

Passo 9

Finalmente, com todas as informações:
  • Equação reduzida da parábola:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
O gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo , passa pelos pontos e , tem vértice em , foco em e sua diretriz é a reta .

Resposta

A equação reduzida da parábola é , com vértice em , foco em , diretriz em e gráfico simétrico em relação ao eixo passando pelos pontos dados.

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Seja a reta a reta que passa pelos pontos e . Determine:
b) As equações paramétricas de .
Considere o seguinte sistema linear :
onde e são parâmetros reais. Qual a relação entre os parâmetros de forma que o sistema seja :
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Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e possui vetor diretor .
Determine as equações paramétricas da mediatriz do segmento de reta , onde e .