Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos
e C
. A parábola tem o eixo
como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Passo 1
Oi! Vamos resolver o problema de encontrar a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos
,
e
. Sabemos que o eixo de simetria é o eixo
. Para isso, vamos usar a fórmula da parábola com o eixo de simetria vertical e substituir os pontos dados para encontrar os coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo
é:
Como o eixo de simetria é o eixo
, isso significa que a parábola é simétrica em relação a esse eixo. Portanto, o termo com
(
) deve ser zero para garantir essa simetria. Assim, a equação simplifica para:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
usando os pontos fornecidos.
Passo 3
Vamos começar substituindo o ponto
na equação. Substituindo
e
, temos:
Então, já temos
. A equação agora fica:
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, a equação reduzida da parábola é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o vértice da parábola. Como a equação está na forma
e o termo com
é zero, o vértice está no ponto
. Portanto, o vértice é:
Passo 7
Para encontrar o foco e a diretriz da parábola, vamos usar a fórmula que relaciona o coeficiente
com a distância do vértice ao foco (
):
Substituindo
:
Como
, a parábola abre para cima, então o foco está acima do vértice.
Passo 8
Então, o foco fica a $ \frac{9}{8}$ unidades acima do vértice
:
A diretriz é uma reta horizontal abaixo do vértice, à mesma distância do foco, ou seja, $ \frac{9}{8}$ unidades abaixo de
:
Passo 9
Finalmente, com todas as informações:
- Equação reduzida da parábola:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
O gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo
, passa pelos pontos
e
, tem vértice em
, foco em
e sua diretriz é a reta
.
Resposta
A equação reduzida da parábola é
, com vértice em
, foco em
, diretriz em
e gráfico simétrico em relação ao eixo
passando pelos pontos dados.