Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos e C . A parábola tem o eixo como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Passo 1
Oi! Vamos resolver o problema de encontrar a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos , e . Sabemos que o eixo de simetria é o eixo . Para isso, vamos usar a fórmula da parábola com o eixo de simetria vertical e substituir os pontos dados para encontrar os coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo é:
Como o eixo de simetria é o eixo , isso significa que a parábola é simétrica em relação a esse eixo. Portanto, o termo com () deve ser zero para garantir essa simetria. Assim, a equação simplifica para:
Agora, precisamos encontrar os valores de e usando os pontos fornecidos.
Passo 3
Vamos começar substituindo o ponto na equação. Substituindo e , temos:
Então, já temos . A equação agora fica:
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto para encontrar o valor de . Substituindo e :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 5
Com os valores de e encontrados, a equação reduzida da parábola é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o vértice da parábola. Como a equação está na forma e o termo com é zero, o vértice está no ponto . Portanto, o vértice é:
Passo 7
Para encontrar o foco e a diretriz da parábola, vamos usar a fórmula que relaciona o coeficiente com a distância do vértice ao foco ():
Substituindo :
Como , a parábola abre para cima, então o foco está acima do vértice.
Passo 8
Então, o foco fica a $ \frac{9}{8}$ unidades acima do vértice :
A diretriz é uma reta horizontal abaixo do vértice, à mesma distância do foco, ou seja, $ \frac{9}{8}$ unidades abaixo de :
Passo 9
Finalmente, com todas as informações:
Equação reduzida da parábola:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
O gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo , passa pelos pontos e , tem vértice em , foco em e sua diretriz é a reta .
Resposta
A equação reduzida da parábola é , com vértice em , foco em , diretriz em e gráfico simétrico em relação ao eixo passando pelos pontos dados.