Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos A(0,2), B(3,4) e C (-3,4). A parábola tem o eixo y como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.

Passo 1

Oi! Vamos resolver o problema de encontrar a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos A(0,2), B(3,4) e C(-3,4). Sabemos que o eixo de simetria é o eixo y. Para isso, vamos usar a fórmula da parábola com o eixo de simetria vertical e substituir os pontos dados para encontrar os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y é:
y = a x^2 + b x + c
Como o eixo de simetria é o eixo y, isso significa que a parábola é simétrica em relação a esse eixo. Portanto, o termo com x ( b x) deve ser zero para garantir essa simetria. Assim, a equação simplifica para:
y = a x^2 + c
Agora, precisamos encontrar os valores de a e c usando os pontos fornecidos.

Passo 3

Vamos começar substituindo o ponto A(0,2) na equação. Substituindo x = 0 e y = 2, temos:
2 = a (0)^2 + c Rightarrow 2 = 0 + c Rightarrow c = 2
Então, já temos c = 2. A equação agora fica:
y = a x^2 + 2

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto B(3,4) para encontrar o valor de a. Substituindo x = 3 e y = 4:
4 = a (3)^2 + 2 Rightarrow 4 = 9a + 2
Subtraindo 2 de ambos os lados:
4 - 2 = 9a Rightarrow 2 = 9a Rightarrow a = 29

Passo 5

Com os valores de a e c encontrados, a equação reduzida da parábola é:
y = 29 x^2 + 2

Passo 6

Agora, vamos determinar o vértice da parábola. Como a equação está na forma y = a x^2 + c e o termo com x é zero, o vértice está no ponto (0, c). Portanto, o vértice é:
V(0, 2)

Passo 7

Para encontrar o foco e a diretriz da parábola, vamos usar a fórmula que relaciona o coeficiente a com a distância do vértice ao foco ( f):
f = 14a
Substituindo a = 29:
f = 14 times 29 = 189 = 98
Como a > 0, a parábola abre para cima, então o foco está acima do vértice.

Passo 8

Então, o foco fica a $ \frac{9}{8}$ unidades acima do vértice 98:
V(0,2)
A diretriz é uma reta horizontal abaixo do vértice, à mesma distância do foco, ou seja, $ \frac{9}{8}$ unidades abaixo de F(0, 2 + 98) = F(0, 258) :
98

Passo 9

Finalmente, com todas as informações:
  • Equação reduzida da parábola: y = 29 x^2 + 2
  • Vértice: (0, 2)
  • Foco: (0, 258)
  • Diretriz: y = 78
O gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo y, passa pelos pontos (3,4) e (-3,4), tem vértice em (0,2), foco em (0, 258) e sua diretriz é a reta y = 78.

Resposta

A equação reduzida da parábola é y = 29 x^2 + 2, com vértice em (0,2), foco em (0, 258), diretriz em y = 78 e gráfico simétrico em relação ao eixo y passando pelos pontos dados.

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