Considere o seguinte sistema linear:
Substitua as três constantes do lado direito do sistema original respectivamente por 5, 2 e 4 e, usando os fatores LU encontrados no item (a), resolva novamente o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear com três equações:
A gente precisa substituir as constantes do lado direito por 5, 2 e 4 respectivamente, ficando assim:
Vamos resolver esse novo sistema usando a fatoração LU que encontramos na parte (a). LU é uma técnica que decompõe a matriz dos coeficientes em duas matrizes: L (triangular inferior) e U (triangular superior). Isso facilita a resolução, pois primeiro resolvemos Ly = b e depois Ux = y.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nova matriz de constantes do lado direito:
E temos a matriz de coeficientes A:
Na parte (a), fatoramos A em LU, onde:
Os valores específicos de e já foram determinados na parte (a).

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema . Primeiro, definimos :

$$
Ly =

$$
Resolvemos essa equação para encontrar y:

Passo 4

Com os valores de y encontrados, agora resolvemos :

$$
Ux =

$$
Resolvemos de cima para baixo:
  1. → encontramos
  2. → encontramos
  3. → encontramos

Resposta

Após resolver as equações utilizando a fatoração LU, os valores das incógnitas são:
(Nota: Para fornecer os valores numéricos exatos, precisaríamos das matrizes L e U específicas da parte (a). Certifique-se de substituir “valor encontrado” pelos resultados obtidos na resolução real.)

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Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
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Mostre que quaisquer dois vetores do conjunto são ortogonais.
No item (b) dizemos que são as coordenadas do vetor em relação ao terno ordenado ortogonal de vetores .
Agora, utilizando a propriedade indicada no item (b) determine as coordenadas do vetor em relação ao terno ordenado ortogonal , onde e .
[3,0 pontos]