Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a equação e queremos identificar que tipo de cônica ela representa. Além disso, se for uma cônica regular (círculo, elipse, parábola ou hipérbole), vamos reescrever a equação na forma canônica usando um novo sistema de coordenadas.

Passo 2

Vamos reescrever a equação organizando os termos de e de :

Passo 3

Agora, completamos o quadrado para os termos de e de . Isso nos ajuda a transformar a equação geral em uma forma mais reconhecível.
Para :
Para :

Passo 4

Substituímos os resultados dos quadrados completos de volta na equação:
Simplificando:

Passo 5

Isolamos os termos quadráticos:

Passo 6

Observamos que a soma de dois quadrados é igual a zero. A única solução para isso é que cada quadrado seja zero:
Ou seja:

Resposta

A equação representa um ponto no plano, localizado nas coordenadas . Não é uma cônica regular como círculo, elipse, parábola ou hipérbole.

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Considere o seguinte sistema linear:
Substitua as três constantes do lado direito do sistema original respectivamente por 5, 2 e 4 e, usando os fatores LU encontrados no item (a), resolva novamente o sistema.
Mostre que quaisquer dois vetores do conjunto são ortogonais.