No item (b) dizemos que (lambda1, lambda2, lambda3) são as coordenadas do vetor w em relação ao terno ordenado ortogonal de vetores (-1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).
Agora, utilizando a propriedade indicada no item (b) determine as coordenadas do vetor v=(3,1,-2) em relação ao terno ordenado ortogonal B=v1, v2, v3, onde v1=(-1,0,-1), v2=(0,1,0) e v3=(1,0,-1).
[3,0 pontos]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem o vetor v = (3, 1, -2) e precisamos encontrar as coordenadas dele em relação a um terno ordenado ortogonal B = v1, v2, v3, onde:
  • v1 = (-1, 0, -1)
  • v2 = (0, 1, 0)
  • v3 = (1, 0, -1)
Como o terno é ortogonal, podemos usar a propriedade das projeções para achar essas coordenadas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em um terno ortogonal, a coordenada de um vetor em relação a uma base é igual ao produto escalar do vetor com o vetor da base, dividido pelo produto escalar do vetor da base consigo mesmo. A fórmula fica assim:
lambdai = v cdot vivi cdot vi
Isso nos dá as coordenadas lambda1, lambda2 e lambda3 para o vetor v.

Passo 3

Vamos calcular lambda1 usando v1 = (-1, 0, -1):
  1. Calculamos o produto escalar v cdot v1:
(3)(-1) + (1)(0) + (-2)(-1) = -3 + 0 + 2 = -1
  1. Calculamos o produto escalar v1 cdot v1:
(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2
  1. Então:
lambda1 = -12

Passo 4

Agora, vamos calcular lambda2 usando v2 = (0, 1, 0):
  1. Calculamos o produto escalar v cdot v2:
(3)(0) + (1)(1) + (-2)(0) = 0 + 1 + 0 = 1
  1. Calculamos o produto escalar v2 cdot v2:
0^2 + 1^2 + 0^2 = 0 + 1 + 0 = 1
  1. Então:
lambda2 = 11 = 1

Passo 5

Por fim, vamos calcular lambda3 usando v3 = (1, 0, -1):
  1. Calculamos o produto escalar v cdot v3:
(3)(1) + (1)(0) + (-2)(-1) = 3 + 0 + 2 = 5
  1. Calculamos o produto escalar v3 cdot v3:
1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2
  1. Então:
lambda3 = 52

Resposta

As coordenadas do vetor v = (3, 1, -2) em relação ao terno ordenado ortogonal B são ( -dfrac12, 1, dfrac52 ).

Exercícios relacionados