Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
x^2+2 x y+y^2+3 x+3 y+2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de cônica essa equação representa (como círculo, elipse, hipérbole, etc.) e desenhar um esboço dela. Para isso, vamos usar algumas ferramentas de álgebra, como a rotação de eixos para simplificar a equação e encontrar a forma mais fácil de identificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica, que é do tipo . No nosso caso:
Isso nos ajuda a calcular o discriminante da cônica, que é dado por .

Passo 3

Calculando o discriminante:
De
O discriminante nos diz que, quando , a cônica é uma parábola.

Passo 4

Agora, vamos eliminar o termo tan(2theta) = BA - C para facilitar a identificação da parábola. Para isso, usamos uma rotação de eixos. O ângulo de rotação tan(2theta) = 21 - 1 = 20 é dado por:
Substituindo os valores:
Isso significa que , então .

Passo 5

Com o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta , definimos as novas coordenadas y = x'sintheta + y'costheta e por:
Como , substituindo na equação original e simplificando, a nova equação sem o termo fica mais fácil de analisar.

Passo 6

Após a substituição e simplificação, a equação transformada fica na forma canônica de uma parábola. Por exemplo, algo como:
y' = ax'^2 + bx' + c
Isso nos mostra claramente que é uma parábola com eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados no sistema rotacionado.

Resposta

A equação representa uma parábola. Após rotacionar os eixos em 45 graus para eliminar o termo , a forma canônica da parábola é obtida, facilitando seu esboço no novo sistema de coordenadas.

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