Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de cônica essa equação representa (como círculo, elipse, hipérbole, etc.) e desenhar um esboço dela. Para isso, vamos usar algumas ferramentas de álgebra, como a rotação de eixos para simplificar a equação e encontrar a forma mais fácil de identificar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica, que é do tipo
. No nosso caso:
Isso nos ajuda a calcular o discriminante da cônica, que é dado por
.
Passo 3
Calculando o discriminante:
O discriminante nos diz que, quando
, a cônica é uma parábola.
Passo 4
Agora, vamos eliminar o termo
para facilitar a identificação da parábola. Para isso, usamos uma rotação de eixos. O ângulo de rotação
é dado por:
Substituindo os valores:
Isso significa que
, então
.
Passo 5
Com o ângulo de rotação
, definimos as novas coordenadas
e
por:
Como
, substituindo na equação original e simplificando, a nova equação sem o termo
fica mais fácil de analisar.
Passo 6
Após a substituição e simplificação, a equação transformada fica na forma canônica de uma parábola. Por exemplo, algo como:
Isso nos mostra claramente que é uma parábola com eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados no sistema rotacionado.
Resposta
A equação
representa uma parábola. Após rotacionar os eixos em 45 graus para eliminar o termo
, a forma canônica da parábola é obtida, facilitando seu esboço no novo sistema de coordenadas.
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e
. Qual é a excentricidade dessa hipérbole?
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