Mostre que quaisquer dois vetores do conjunto são ortogonais.

Passo 1

Hoje vamos mostrar que quaisquer dois vetores do conjunto são ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que nos ajuda a determinar se dois vetores são perpendiculares no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se eles forem perpendiculares entre si. Matematicamente, isso acontece quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores e é calculado da seguinte forma:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre os primeiros dois vetores do conjunto: e .
Como o resultado é zero, os vetores e são ortogonais.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre e .
Novamente, o resultado é zero, então os vetores e são ortogonais.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o produto escalar entre e .
Mais uma vez, o resultado é zero, confirmando que os vetores e são ortogonais.

Resposta

Portanto, mostramos que quaisquer dois vetores do conjunto são ortogonais, já que o produto escalar entre eles é igual a zero.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte sistema linear:
Substitua as três constantes do lado direito do sistema original respectivamente por 5, 2 e 4 e, usando os fatores LU encontrados no item (a), resolva novamente o sistema.
Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
No item (b) dizemos que são as coordenadas do vetor em relação ao terno ordenado ortogonal de vetores .
Agora, utilizando a propriedade indicada no item (b) determine as coordenadas do vetor em relação ao terno ordenado ortogonal , onde e .
[3,0 pontos]
Verifique que