Mostre que quaisquer dois vetores do conjunto (-1,1,0),(0,0,1),(1,1,0) são ortogonais.

Passo 1

Hoje vamos mostrar que quaisquer dois vetores do conjunto (-1,1,0), (0,0,1), (1,1,0) são ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que nos ajuda a determinar se dois vetores são perpendiculares no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se eles forem perpendiculares entre si. Matematicamente, isso acontece quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é calculado da seguinte forma:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre os primeiros dois vetores do conjunto: a = (-1, 1, 0) e b = (0, 0, 1).
a cdot b = (-1) times 0 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 + 0 + 0 = 0
Como o resultado é zero, os vetores a e b são ortogonais.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre a = (-1, 1, 0) e c = (1, 1, 0).
a cdot c = (-1) times 1 + 1 times 1 + 0 times 0 = -1 + 1 + 0 = 0
Novamente, o resultado é zero, então os vetores a e c são ortogonais.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o produto escalar entre b = (0, 0, 1) e c = (1, 1, 0).
b cdot c = 0 times 1 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Mais uma vez, o resultado é zero, confirmando que os vetores b e c são ortogonais.

Resposta

Portanto, mostramos que quaisquer dois vetores do conjunto (-1,1,0), (0,0,1), (1,1,0) são ortogonais, já que o produto escalar entre eles é igual a zero.

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