Suponha que os fatores e de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
Calcule o determinante da matriz de coeficientes correspondente ao sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá as matrizes e de uma decomposição LU de um sistema linear, sem pivoteamento. Nosso objetivo é encontrar o determinante da matriz de coeficientes original. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades das matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma matriz na decomposição LU é uma matriz triangular inferior, e é uma matriz triangular superior. As matrizes triangulares têm um lugar especial quando se trata de determinantes: o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 3
Outra coisa importante: o determinante da matriz de coeficientes original pode ser encontrado multiplicando-se os determinantes de e . Isso porque e .
Passo 4
Vamos começar calculando o determinante de L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 3 & 1 . A matriz det(L) = 1 times 1 times 1 = 1 é:
Como é triangular inferior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante de U = 2 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 1 . A matriz det(U) = 2 times 2 times 1 = 4 é:
Essa é uma matriz triangular superior, então novamente multiplicamos os elementos da diagonal principal:
Passo 6
Com os determinantes de det(A) = det(L) times det(U) = 1 times 4 = 4 e calculados, podemos agora encontrar o determinante da matriz de coeficientes :