Suponha que os fatores L e U de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
L=(lll 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 3 & 1 ) e U=(lll 2 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 1 )
Calcule o determinante da matriz de coeficientes correspondente ao sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá as matrizes e de uma decomposição LU de um sistema linear, sem pivoteamento. Nosso objetivo é encontrar o determinante da matriz de coeficientes original. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades das matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma matriz na decomposição LU é uma matriz triangular inferior, e é uma matriz triangular superior. As matrizes triangulares têm um lugar especial quando se trata de determinantes: o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Outra coisa importante: o determinante da matriz de coeficientes original pode ser encontrado multiplicando-se os determinantes de e . Isso porque e .

Passo 4

Vamos começar calculando o determinante de L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 3 & 1 . A matriz det(L) = 1 times 1 times 1 = 1 é:
Como é triangular inferior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de U = 2 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 1 . A matriz det(U) = 2 times 2 times 1 = 4 é:
Essa é uma matriz triangular superior, então novamente multiplicamos os elementos da diagonal principal:

Passo 6

Com os determinantes de det(A) = det(L) times det(U) = 1 times 4 = 4 e calculados, podemos agora encontrar o determinante da matriz de coeficientes :

Resposta

O determinante da matriz de coeficientes é .

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