Suponha que os fatores e de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
Calcule o determinante da matriz de coeficientes correspondente ao sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá as matrizes e de uma decomposição LU de um sistema linear, sem pivoteamento. Nosso objetivo é encontrar o determinante da matriz de coeficientes original. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades das matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma matriz na decomposição LU é uma matriz triangular inferior, e é uma matriz triangular superior. As matrizes triangulares têm um lugar especial quando se trata de determinantes: o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Outra coisa importante: o determinante da matriz de coeficientes original pode ser encontrado multiplicando-se os determinantes de e . Isso porque e .

Passo 4

Vamos começar calculando o determinante de . A matriz é:
Como é triangular inferior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de . A matriz é:
Essa é uma matriz triangular superior, então novamente multiplicamos os elementos da diagonal principal:

Passo 6

Com os determinantes de e calculados, podemos agora encontrar o determinante da matriz de coeficientes :

Resposta

O determinante da matriz de coeficientes é .

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Suponha que os fatores e de um sistema linear, obtidos sem pivoteamento a partir da matriz de coeficientes, são:
Use os fatores e para resolver o sistema considerando que o vetor de constantes seja .
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Como a adição de é a operação usual de , certos axiomas de espaço vetorial valem para por valerem em . Quais são esses axiomas?