Sejam uma reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor , uma reta dada por
(b) Encontre o ponto de interseção das retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem duas retas no espaço 3D e precisa encontrar o ponto onde elas se cruzam, chamado de ponto de interseção. Para isso, vamos usar as equações das retas e resolver um sistema de equações. Precisamos entender como parametrizar cada reta e então encontrar os valores que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da reta de forma paramétrica. Sabemos que essa reta passa pelo ponto e tem o vetor diretor . A forma paramétrica da reta é dada por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta .
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta . A reta é definida pelas equações:
Podemos reescrever essas equações para expressar e em termos de :
Aqui, vamos usar o parâmetro para representar , então a forma paramétrica da reta fica:
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção , devemos igualar as coordenadas das retas e . Isso significa que existe um valor de e um valor de onde as coordenadas de ambas as retas são iguais.
Vamos igualar as coordenadas:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Começamos pela segunda equação:
Agora que já sabemos que , substituímos esse valor na primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação para verificar: