Sejam uma reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor , uma reta dada por
(b) Encontre o ponto de interseção das retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem duas retas no espaço 3D e precisa encontrar o ponto onde elas se cruzam, chamado de ponto de interseção. Para isso, vamos usar as equações das retas e resolver um sistema de equações. Precisamos entender como parametrizar cada reta e então encontrar os valores que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da reta de forma paramétrica. Sabemos que essa reta passa pelo ponto e tem o vetor diretor . A forma paramétrica da reta é dada por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a reta . A reta é definida pelas equações:
Podemos reescrever essas equações para expressar e em termos de :
Aqui, vamos usar o parâmetro para representar , então a forma paramétrica da reta fica:

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção , devemos igualar as coordenadas das retas e . Isso significa que existe um valor de e um valor de onde as coordenadas de ambas as retas são iguais.
Vamos igualar as coordenadas:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos pela segunda equação:
Agora que já sabemos que , substituímos esse valor na primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação para verificar:
Tudo conferiu certinho!

Resposta

O ponto de interseção das retas e é .

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Sejam , e . Encontre
Considere o seguinte sistema linear nas variáveis e .
(a) Determine os valores do coeficiente para que este sistema sempre possua uma única solução.
(b) Determine condições sobre os números e para que este sistema não tenha solução.
© Determine condições sobre os números e para que este sistema possua infinitas soluções.
(d) Dê um exemplo de números e para que este sistema possua infinitas soluções. Além disso, para estes valores numéricos, escreva a solução geral do sistema.
Sejam , e . Encontre