Sejam r uma reta que passa pelo ponto A=(1,2,5) e tem vetor diretor r=(1,0,-1), s uma reta dada por s:lx+2 y-7=0 z-3=0
(b) Encontre o ponto B de interseção das retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem duas retas no espaço 3D e precisa encontrar o ponto onde elas se cruzam, chamado de ponto de interseção. Para isso, vamos usar as equações das retas e resolver um sistema de equações. Precisamos entender como parametrizar cada reta e então encontrar os valores que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da reta r de forma paramétrica. Sabemos que essa reta passa pelo ponto A = (1, 2, 5) e tem o vetor diretor r = (1, 0, -1). A forma paramétrica da reta é dada por:
x = 1 + t y = 2 + 0 cdot t = 2 z = 5 - t
Aqui, t é o parâmetro que varia ao longo da reta r.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a reta s. A reta s é definida pelas equações:
x + 2y - 7 = 0 z - 3 = 0
Podemos reescrever essas equações para expressar x e z em termos de y:
x = 7 - 2y z = 3
Aqui, vamos usar o parâmetro s para representar y, então a forma paramétrica da reta s fica:
x = 7 - 2s y = s z = 3

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção B, devemos igualar as coordenadas das retas r e s. Isso significa que existe um valor de t e um valor de s onde as coordenadas (x, y, z) de ambas as retas são iguais.
Vamos igualar as coordenadas:
1 + t = 7 - 2s 2 = s 5 - t = 3

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos pela segunda equação:
2 = s
Agora que já sabemos que s = 2, substituímos esse valor na primeira equação:
1 + t = 7 - 2 cdot 2 1 + t = 7 - 4 1 + t = 3 t = 2
Agora, substituímos t = 2 na terceira equação para verificar:
5 - 2 = 3 3 = 3
Tudo conferiu certinho!

Resposta

O ponto B de interseção das retas r e s é B = (3, 2, 3).

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