Sejam u=3 i-4 j+2 z, v=2 i+5 j-3 k, e w=4 i+7 j+2 k. Encontre u times w

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores: , e . A questão quer que a gente encontre o produto vetorial entre e , que é representado por . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

O produto vetorial, ou cruzamento de vetores, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular u times w = i & j & k u1 & u2 & u3 w1 & w2 & w3 é dada pelo determinante de uma matriz 3x3:
Onde , e são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente, e são as componentes de , enquanto são as componentes de .

Passo 3

Vamos identificar as componentes dos vetores u = 3i - 4j + 2k Rightarrow u1 = 3, u2 = -4, u3 = 2 e w = 4i + 7j + 2k Rightarrow w1 = 4, w2 = 7, w3 = 2 :

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do determinante com essas componentes:
u times w = i & j & k 3 & -4 & 2 4 & 7 & 2

Passo 5

Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:
u times w = i cdot -4 & 2 7 & 2 - j cdot 3 & 2 4 & 2 + k cdot 3 & -4 4 & 7

Passo 6

Vamos calcular cada um desses menores determinantes:
Para -4 & 2 7 & 2 = (-4)(2) - (2)(7) = -8 -14 = -22 :
3 & 2 4 & 2 = (3)(2) - (2)(4) = 6 -8 = -2
Para 3 & -4 4 & 7 = (3)(7) - (-4)(4) = 21 +16 = 37 :
Para :

Passo 7

Substituindo esses valores de volta na expressão original:
u times w = i cdot (-22) - j cdot (-2) + k cdot 37
Simplificando os sinais:
u times w = -22i + 2j + 37k

Resposta

O produto vetorial é igual a .

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