Considere o seguinte sistema, onde as variáveis são :
Para quais valores de o sistema tem infinitas soluções? Se houver, calcule para esses valores de todas as soluções do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três variáveis: , , e . A gente quer descobrir para quais valores de o sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Para sistemas com três equações e três variáveis, geralmente usamos a regra de Cramer ou eliminação de Gauss para resolver. Mas, como queremos saber quando o sistema tem infinitas soluções, precisamos analisar o determinante da matriz dos coeficientes.
Passo 3
Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
O determinante dessa matriz () nos diz se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução:
Se : sistema tem uma única solução.
Se : sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Como queremos casos com infinitas soluções, vamos encontrar os valores de que fazem .
Agora, precisamos verificar se, para esses valores de , o sistema realmente tem infinitas soluções. Para isso, substituímos cada valor de no sistema e resolvemos para as variáveis , e .
Vamos considerar . (O outro valor seguirá o mesmo processo.)
Passo 7
Substituindo (7 + raiz2098) x + 3(7 + raiz2098) y - 2 z &= 1 x - 4 y + 2(7 + raiz2098) z &= 1 x + y + z &= 2 (7 + raiz2098) no sistema:
Esse sistema é dependente, o que significa que uma das equações pode ser expressa como combinação linear das outras. Portanto, temos infinitas soluções.
Passo 8
As infinitas soluções podem ser expressas em termos de um parâmetro livre. Vamos escolher x + y + t = 2k implies x + y = 2k - t , onde x - 4y + 2k t = 1 pode ser qualquer número real.
A partir da terceira equação:
(2k - t - y) - 4y + 2k t = 1 implies 2k - t - y -4y + 2k t =1
Da segunda equação:
2k - t -5y +2k t =1 implies -5y =1 -2k + t -2k t
Substituindo y = 2k - t +2k t -15 na segunda equação:
x = 2k - t - (2k - t +2k t -15) = 10k -5t -2k + t -2k t +15 = 8k -4t -2k t +15
Agora, substituímos na expressão de :
Passo 9
Portanto, as soluções do sistema para x = dfrac8k -4t -2k t +15 y = dfrac2k - t +2k t -15 z = t onde t in R são:
Resposta
O sistema tem infinitas soluções para os valores de x = dfrac8k -4t -2k t +15 y = dfrac2k - t +2k t -15 z = t onde t in R e . Para cada um desses valores de , as soluções são dadas por: