Considere o seguinte sistema, onde as variáveis são x, y, z:
k x+3 k y-2 z & =1 x-4 y+2 k z & =1 x+y+z & =2 k
Para quais valores de k in R o sistema tem infinitas soluções? Se houver, calcule para esses valores de k todas as soluções do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três variáveis: , , e . A gente quer descobrir para quais valores de o sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
k x + 3k y - 2 z &= 1 (Equação 1) x - 4 y + 2k z &= 1 (Equação 2) x + y + z &= 2k (Equação 3) çãçãçã
Para sistemas com três equações e três variáveis, geralmente usamos a regra de Cramer ou eliminação de Gauss para resolver. Mas, como queremos saber quando o sistema tem infinitas soluções, precisamos analisar o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = k & 3k & -2 1 & -4 & 2k 1 & 1 & 1
O determinante dessa matriz ( ) nos diz se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução:
  • Se : sistema tem uma única solução.
  • Se : sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Como queremos casos com infinitas soluções, vamos encontrar os valores de que fazem .

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = k cdot (-4 cdot 1 - 2k cdot 1) - 3k cdot (1 cdot 1 - 2k cdot 1) + (-2) cdot (1 cdot 1 - (-4) cdot 1) :
det(A) = k(-4 - 2k) - 3k(1 - 2k) - 2(1 + 4)
Simplificando cada parte:
= -4k - 2k^2 - 3k + 6k^2 - 10
= ( -4k -3k ) + ( -2k^2 +6k^2 ) -10
= -7k + 4k^2 -10
det(A) = 4k^2 -7k -10
Então, temos:

Passo 5

Para encontrar os valores de 4k^2 -7k -10 = 0 que tornam o determinante zero, resolvemos a equação quadrática:
k = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 4 cdot (-10)2 cdot 4 = 7 pm raiz49 + 1608 = 7 pm raiz2098
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
k = 7 + raiz2098 e k = 7 - raiz2098
Então, os valores de são:

Passo 6

Agora, precisamos verificar se, para esses valores de , o sistema realmente tem infinitas soluções. Para isso, substituímos cada valor de no sistema e resolvemos para as variáveis , e .
Vamos considerar . (O outro valor seguirá o mesmo processo.)

Passo 7

Substituindo (7 + raiz2098) x + 3(7 + raiz2098) y - 2 z &= 1 x - 4 y + 2(7 + raiz2098) z &= 1 x + y + z &= 2 (7 + raiz2098) no sistema:
Esse sistema é dependente, o que significa que uma das equações pode ser expressa como combinação linear das outras. Portanto, temos infinitas soluções.

Passo 8

As infinitas soluções podem ser expressas em termos de um parâmetro livre. Vamos escolher x + y + t = 2k implies x + y = 2k - t , onde x - 4y + 2k t = 1 pode ser qualquer número real.
A partir da terceira equação:
(2k - t - y) - 4y + 2k t = 1 implies 2k - t - y -4y + 2k t =1
Da segunda equação:
2k - t -5y +2k t =1 implies -5y =1 -2k + t -2k t
Substituindo y = 2k - t +2k t -15 na segunda equação:
x = 2k - t - (2k - t +2k t -15) = 10k -5t -2k + t -2k t +15 = 8k -4t -2k t +15
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 9

Portanto, as soluções do sistema para x = dfrac8k -4t -2k t +15 y = dfrac2k - t +2k t -15 z = t onde t in R são:

Resposta

O sistema tem infinitas soluções para os valores de x = dfrac8k -4t -2k t +15 y = dfrac2k - t +2k t -15 z = t onde t in R e . Para cada um desses valores de , as soluções são dadas por:

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