Prove que, se a>0, b>0 e a^2>b^2, então a>b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que provar que se , e , então necessariamente . Isso está relacionado ao conteúdo de desigualdades e propriedades das potências. Para resolver, vamos usar algumas regras básicas de matemática envolvendo números positivos e suas potências.

Passo 2

Primeiro, como e são ambos maiores que zero, sabemos que estamos trabalhando com números positivos. Isso é importante porque, para números positivos, se , isso implica que deve ser maior que . Mas vamos detalhar isso.

Passo 3

Sabemos que, para qualquer número positivo , a função é estritamente crescente. Isso quer dizer que se e ambos são positivos, então . Isso acontece porque, quanto maior o número, maior será seu quadrado.

Passo 4

Agora, aplicando isso à nossa situação: se e ambos são positivos, então . Esse é o que a função crescente nos garante. Mas a questão está no contrário: sabemos que e queremos provar que .

Passo 5

Como a função é estritamente crescente para , podemos dizer que se , então necessariamente . Não tem outra possibilidade, já que a função não permite que um número menor tenha um quadrado maior quando ambos são positivos.

Resposta

Portanto, se , e , então concluímos que .

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