Prove que, se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que provar que se
,
e
, então necessariamente
. Isso está relacionado ao conteúdo de desigualdades e propriedades das potências. Para resolver, vamos usar algumas regras básicas de matemática envolvendo números positivos e suas potências.
Passo 2
Primeiro, como
e
são ambos maiores que zero, sabemos que estamos trabalhando com números positivos. Isso é importante porque, para números positivos, se
, isso implica que
deve ser maior que
. Mas vamos detalhar isso.
Passo 3
Sabemos que, para qualquer número positivo
, a função
é estritamente crescente. Isso quer dizer que se
e ambos são positivos, então
. Isso acontece porque, quanto maior o número, maior será seu quadrado.
Passo 4
Agora, aplicando isso à nossa situação: se
e ambos são positivos, então
. Esse é o que a função crescente nos garante. Mas a questão está no contrário: sabemos que
e queremos provar que
.
Passo 5
Como a função
é estritamente crescente para
, podemos dizer que se
, então necessariamente
. Não tem outra possibilidade, já que a função não permite que um número menor tenha um quadrado maior quando ambos são positivos.
Resposta
Portanto, se
,
e
, então concluímos que
.