Prove que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que
para todo
real, exceto quando
, onde
é um número inteiro. Estamos trabalhando com identidades trigonométricas, então vamos precisar usar definições básicas de funções trigonométricas e propriedades algébricas para simplificar e mostrar que os dois lados da equação são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
Vamos substituir essas definições na equação original para facilitar a simplificação.
Passo 3
Substituindo as definições na equação:
Agora, vamos simplificar cada termo separadamente.
Passo 4
Vamos simplificar o primeiro termo
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o segundo termo
:
Passo 6
Observamos que
, então podemos reescrever a soma dos dois termos:
Passo 7
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação original:
Passo 8
Agora, comparamos os dois lados:
Dividindo ambos os lados por
(que não é zero, pois
):
Passo 9
Vamos verificar se a igualdade é verdadeira:
Pois
, a igualdade é confirmada.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo
, exceto quando
, onde
é um número inteiro.