Prove que (1-tg x)^2+(1-cotg x)^2=(sec x-cossec x)^2, forall x in R, x neq(k pi) / 2, k in Z.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que (1 - tan x)^2 + (1 - cot x)^2 = (sec x - csc x)^2 para todo real, exceto quando , onde é um número inteiro. Estamos trabalhando com identidades trigonométricas, então vamos precisar usar definições básicas de funções trigonométricas e propriedades algébricas para simplificar e mostrar que os dois lados da equação são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
Vamos substituir essas definições na equação original para facilitar a simplificação.

Passo 3

Substituindo as definições na equação:
(1 - sin xcos x)^2 + (1 - cos xsin x)^2 = (1cos x - 1sin x)^2
Agora, vamos simplificar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos simplificar o primeiro termo 1 - sin xcos x = cos x - sin xcos x :
(1 - sin xcos x)^2 = (cos x - sin xcos x)^2 = (cos x - sin x)^2cos^2 x

Passo 5

Agora, vamos simplificar o segundo termo 1 - cos xsin x = sin x - cos xsin x :
(1 - cos xsin x)^2 = (sin x - cos xsin x)^2 = (sin x - cos x)^2sin^2 x

Passo 6

Observamos que (cos x - sin x)^2cos^2 x + (sin x - cos x)^2sin^2 x = (sin x - cos x)^2cos^2 x + (sin x - cos x)^2sin^2 x , então podemos reescrever a soma dos dois termos:
= (sin x - cos x)^2 ( 1cos^2 x + 1sin^2 x )

Passo 7

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação original:
(1cos x - 1sin x)^2 = (sin x - cos xsin x cos x)^2 = (sin x - cos x)^2sin^2 x cos^2 x

Passo 8

Agora, comparamos os dois lados:
(sin x - cos x)^2 ( 1cos^2 x + 1sin^2 x ) = (sin x - cos x)^2sin^2 x cos^2 x
Dividindo ambos os lados por 1cos^2 x + 1sin^2 x = 1sin^2 x cos^2 x (que não é zero, pois ):

Passo 9

Vamos verificar se a igualdade é verdadeira:
1cos^2 x + 1sin^2 x = sin^2 x + cos^2 xsin^2 x cos^2 x = 1sin^2 x cos^2 x
Pois , a igualdade é confirmada.

Resposta

Portanto, provamos que para todo , exceto quando , onde é um número inteiro.

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