A equação em coordenadas polares da circunferência de centro (0,2) e raio 2 é:
(a) r=2 cos theta.
(b) r=4 cos theta.
© r=2 sen theta.
(d) r=4 sen theta.
(e) r=-2 sen theta

Passo 1

Beleza, temos um exercício que pede para encontrar a equação de uma circunferência no sistema de coordenadas polares. A circunferência tem centro no ponto (0,2) e raio 2. Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação da circunferência de coordenadas cartesianas para polares, utilizando as relações entre as duas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência no sistema de coordenadas cartesianas. A equação geral de uma circunferência com centro em (h,k) e raio r é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
No nosso caso, o centro é (0,2) e o raio é 2. Então, substituindo na fórmula:
(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2
x^2 + (y - 2)^2 = 4

Passo 3

Agora, precisamos converter essa equação para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta
y = r sin theta
Vamos substituir essas expressões na equação da circunferência:
(r cos theta)^2 + (r sin theta - 2)^2 = 4

Passo 4

Vamos expandir os termos:
r^2 cos^2 theta + (r sin theta - 2)^2 = 4
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta - 4 r sin theta + 4 = 4
Simplificando:
r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 4 r sin theta + 4 = 4
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
r^2 - 4 r sin theta + 4 = 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
r^2 - 4 r sin theta = 0

Passo 5

Podemos fatorar r:
r (r - 4 sin theta) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. r = 0 (que representa o ponto na origem, mas não é a circunferência)
  2. r = 4 sin theta
Então, a equação polar da circunferência é:
r = 4 sin theta

Resposta

A alternativa correta é a (d) r=4 sen theta.

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