A equação em coordenadas polares da circunferência de centro (0,2) e raio 2 é:
(a) r=2 cos theta.
(b) r=4 cos theta.
© r=2 sen theta.
(d) r=4 sen theta.
(e) r=-2 sen theta

Passo 1

Beleza, temos um exercício que pede para encontrar a equação de uma circunferência no sistema de coordenadas polares. A circunferência tem centro no ponto (0,2) e raio 2. Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação da circunferência de coordenadas cartesianas para polares, utilizando as relações entre as duas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência no sistema de coordenadas cartesianas. A equação geral de uma circunferência com centro em (h,k) e raio r é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
No nosso caso, o centro é (0,2) e o raio é 2. Então, substituindo na fórmula:
(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2
x^2 + (y - 2)^2 = 4

Passo 3

Agora, precisamos converter essa equação para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta
y = r sin theta
Vamos substituir essas expressões na equação da circunferência:
(r cos theta)^2 + (r sin theta - 2)^2 = 4

Passo 4

Vamos expandir os termos:
r^2 cos^2 theta + (r sin theta - 2)^2 = 4
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta - 4 r sin theta + 4 = 4
Simplificando:
r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 4 r sin theta + 4 = 4
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
r^2 - 4 r sin theta + 4 = 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
r^2 - 4 r sin theta = 0

Passo 5

Podemos fatorar r:
r (r - 4 sin theta) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. r = 0 (que representa o ponto na origem, mas não é a circunferência)
  2. r = 4 sin theta
Então, a equação polar da circunferência é:
r = 4 sin theta

Resposta

A alternativa correta é a (d) r=4 sen theta.

Exercícios relacionados

Seja r a reta que passa pelo ponto P=(2,0,3) e é perpendicular ao plano pi1 : 3 x+y-2 z=0. Qual dos seguintes pontos NÃO pertence à reta r ?
(a) (5,1,1)
(b) (11,3,-3)
© (-1,-1,5)
(d) (-7,-3,9)
(e) (14,4,-9)
Os diâmetros de colisão do hidrogênio e do nitrogênio são, respectivamente, 292 pm= 292 times 10^-12 m e 368 pm=368 times 10^-12 m. Em 20^circ C e 1,0 atm,
(a) calcule o livre caminho médio da molécula de hidrogênio.
(b) Quão maior é o livre caminho médio da molécula de hidrogênio em relação ao da molécula de nitrogênio?
Considere as seguintes afirmações
(I) A cônica de equação y^2-1=2 x^2 possui um único vértice.
(II) A parábola de equação (x-2)=12(y-2)^2 tem diretriz vertical.
(III) A curva de equações paramétricas lx=2 sec (t) y=2 tan (t), t in[0,2 pi), t neq pi / 2,3 pi / 2 é uma hipérbole de centro (2,2).
Então:
(a) apenas as afirmações (I) e (I I I) são verdadeiras.
(b) apenas as afirmações (I I) e (III) são verdadeiras.
© apenas a afirmação (I I) é verdadeira.
(d) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
(e) todas as afirmações são verdadeiras.
A equação da diretriz da parábola de foco F=(2,3) e vértice V=(0,3) é:
(a) y=4
(b) x=-2
© x=4
(d) x=3
(e) y=-2