Seja r a reta que passa pelo ponto P=(2,0,3) e é perpendicular ao plano pi1 : 3 x+y-2 z=0. Qual dos seguintes pontos NÃO pertence à reta r ?
(a) (5,1,1)
(b) (11,3,-3)
© (-1,-1,5)
(d) (-7,-3,9)
(e) (14,4,-9)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual dos pontos listados não está na reta . A reta passa pelo ponto e é perpendicular ao plano dado pela equação . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser perpendicular a um plano. A reta perpendicular a um plano tem direção igual ao vetor normal desse plano. O vetor normal ( n = (3, 1, -2) ) de um plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano. No nosso caso:
Esse vetor indica a direção da reta .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta x = 2 + 3t y = 0 + t z = 3 - 2t . Sabendo que ela passa pelo ponto e tem direção , podemos expressar os pontos da reta usando um parâmetro :
Assim, qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de .

Passo 4

Vamos verificar cada um dos pontos fornecidos para ver se ele satisfaz as equações paramétricas da reta 5 = 2 + 3t Rightarrow t = 1 1 = 0 + t Rightarrow t = 1 1 = 3 - 2t Rightarrow t = 1 .

Ponto (a) 11 = 2 + 3t Rightarrow t = 3 3 = 0 + t Rightarrow t = 3 -3 = 3 - 2t Rightarrow t = 3 :

-1 = 2 + 3t Rightarrow t = -1 -1 = 0 + t Rightarrow t = -1 5 = 3 - 2t Rightarrow t = -1
Tudo se encaixa com -7 = 2 + 3t Rightarrow t = -3 -3 = 0 + t Rightarrow t = -3 9 = 3 - 2t Rightarrow t = -3 . Portanto, esse ponto está na reta 14 = 2 + 3t Rightarrow t = 4 4 = 0 + t Rightarrow t = 4 -9 = 3 - 2t Rightarrow t = 6 .

Ponto (b) :

Novamente, satisfaz todas as equações. Esse ponto também está na reta .

Ponto © :

Aqui, funciona para todas as coordenadas. Esse ponto está na reta .

Ponto (d) :

Mais uma vez, satisfaz todas as equações. Esse ponto também está na reta .

Ponto (e) :

Aqui temos um problema! Para as duas primeiras equações, seria 4, mas na terceira equação, deveria ser 6 para satisfazer . Como não é o mesmo em todas as coordenadas, esse ponto não está na reta .

Resposta

O ponto que NÃO pertence à reta é (e) .

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Então:
(a) apenas as afirmações (I) e (I I I) são verdadeiras.
(b) apenas as afirmações (I I) e (III) são verdadeiras.
© apenas a afirmação (I I) é verdadeira.
(d) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
(e) todas as afirmações são verdadeiras.